Теорема Абеля о сходимости степенных рядов

Теоре́ма А́беля о сходи́мости степенны́х рядо́в утверждает, что если степенной ряд

${\displaystyle S(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-b)^{k}}$ (*),

где ${\displaystyle a_{k}}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle z}$ – комплексные числа, сходится при ${\displaystyle z=z_{0}}$, то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге ${\displaystyle \mid z-b\mid \leqslant \rho }$ радиуса ${\displaystyle \rho <\mid z_{0}-b\mid }$ с центром в точке ${\displaystyle b}$. Установлена Н. Х. Абелем (Abel. 1826^[1]). Из этой теоремы вытекает, что существует число ${\displaystyle R\in [0,\infty ]}$, обладающее тем свойством, что при ${\displaystyle \mid z-b\mid <R}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle \mid z-b\mid >R}$ расходится. Это число ${\displaystyle R}$ называется радиусом сходимости ряда (*), а круг ${\displaystyle \mid z-b\mid <R}$ называется кругом сходимости ряда (*).