Движе́ние, преобразование пространства, сохраняющее геометрические свойства фигур (размеры, форму и др.). Понятие движения сформировалось путём абстракции реальных перемещений твёрдых тел в евклидовом пространстве. Движение принимается иногда в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии.

Движение евклидова пространства – преобразование пространства, сохраняющее расстояние между точками. Движение называется собственным (движением 1-го рода) или несобственным (движением 2-го рода) в зависимости от того, сохраняет оно или не сохраняет ориентацию пространства.

На плоскости собственные движения выражаются аналитически в прямоугольной системе координат $(x, y)$ при помощи следующих формул:$$\begin{array}{c} \widetilde{x} = x \cos \varphi - y \sin \varphi + a , \\ \widetilde{y} = x \sin \varphi + y \cos \varphi + b , \end{array}$$показывающих, что совокупность всех собственных движений на плоскости зависит от трёх параметров – $a$, $b$, $\varphi$. Первые 2 параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор $(a, b)$, а параметр $\varphi$ – вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственное движение представляет собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол $\varphi$ и параллельного переноса на вектор $(a, b)$. Всякое собственное движение может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки.

Несобственные движения выражаются при помощи формул$$\begin{array}{c} \widetilde{x} = x \cos \varphi + y \sin \varphi + a , \\ \widetilde{y} = x \sin \varphi - y \cos \varphi + b , \end{array}$$показывающих, что несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой прямой. Всякое несобственное движение представляет собой произведение параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же направление.

В пространстве собственное движение есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или может быть представлено в виде произведения вращения вокруг оси и параллельного переноса в направлении этой оси (винтовое движение). Несобственное движение есть либо симметрия относительно плоскости, либо может быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной к этой плоскости, либо – в виде произведения симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного этой плоскости.

В прямоугольной системе координат $(x, y, z)$ в пространстве движение выражается аналитически при помощи формул$$\begin{array}{} \widetilde{x} = a _ {11} x + a _ {12} y + a _ {13} z + a, \\ \widetilde{y} = a _ {21} x + a _ {22} y + a _ {23} z + b, \\ \widetilde{z} = a _ {31} x + a _ {32} y + a _ {33} z + c, \end{array}$$где элементы матрицы $\|a_{ij}\|$ удовлетворяют следующим условиям ортогональности$$a_{1r}a_{1s} + a_{2r}a_{2s} + a_{3r}a_{3s}= \delta_{rs}$$$(\delta_{rs}=1$ при $r=s$, $\delta_{rs}=0$ при $r \neq s)$. Движение является собственным или несобственным в зависимости от того, равняется ли определитель этой матрицы $1$ или $-1$. См. Ортогональное преобразование.

Аналогично в случае $n$-мерных евклидовых пространств движение выражается аналитически в прямоугольных координатах при помощи ортогональной матрицы $A=\|a_{ij}\|$:$$a_{1r}a_{1s} + a_{2r}a_{2s} + \dots + a_{nr}a_{ns} = \delta_{rs}.$$Движение риманова пространства – взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение класса $C^s$, $s \geqslant 2$, при котором сохраняются длины соответствующих линий. Линейный элемент пространства$$ds^{2} = g_{\alpha \beta}(x^{1}, x^2, \dots, x^{n}) dx^\alpha dx^\beta,$$где по индексам $\alpha$, $\beta$ производится суммирование, инвариантен относительно движения. Аналитически движение определяется формулами, выражающими координаты преобразованной точки $\widetilde M ({\widetilde x}^{\, i})$ через координаты исходной точки $M(x^i)$ при помощи функций $f^i(x)$ класса $C^s$:$$\tag{$*$} \begin{array}{c} {\widetilde{x}}^\alpha = f^{\alpha}(x^1, x^2, \dots, x^n), \\ \alpha = 1, 2, \dots, n. \end{array}$$Условие инвариантности линейного элемента означает, что$$g_{\alpha \beta}({\widetilde{x}}^1, {\widetilde{x}}^2, \dots, {\widetilde{x}}^n) \frac{\partial{\widetilde{x}}^\alpha}{\partial x^i} \frac{\partial{\widetilde{x}}^\beta}{\partial x^j} = g_{ij}(x^1, x^2, \dots, x^n).$$Важное значение имеет понятие движения в римановых пространствах общей теории относительности: в сильных асимметрических гравитационных полях твёрдые тела могут иметь лишь весьма ограниченные движения. Возможны также случаи, когда они не будут допускать никаких движений. В последней ситуации при любом преобразовании пространства метрика не остаётся инвариантной. Другими словами, любое перемещение сопровождается деформацией тела.

Движение пространства аффинной связности – взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение класса $C^s$, $s \geqslant 2$, при котором всякое поле параллельных векторов вдоль любой гладкой линии переходит в поле параллельных векторов преобразованной кривой. При движении объект аффинной связности $\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(x)$ переходит в себя. Обратно, всякое отображение $(*)$, переводящее объект аффинной связности в себя, есть движение.

Движения составляют группу преобразований (см. Группа движений). Они являются простейшими преобразованиями пространства.