Враще́ние, частный случай движения, при котором по крайней мере одна точка пространства остаётся неподвижной. При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая – осью вращения. Вращение евклидова пространства называется собственным (вращение 1-го рода) или несобственным (вращение 2-го рода) в зависимости от того, сохраняет оно или не сохраняет ориентацию пространства.

На плоскости собственное вращение выражается аналитически в декартовых прямоугольных координатах $(x, y )$ при помощи формул (начало координат в центре вращения)$$\tilde{x}=x \cos \varphi-y \sin \varphi,\quad \tilde{y}=x \sin \varphi+y \cos \varphi,$$где $\varphi$ – угол поворота. Собственное вращение на угол $\varphi$ может быть представлено как произведение двух осевых симметрий с осями, пересекающимися под углом $\varphi / 2$. Несобственное вращение на плоскости выражается аналитически в декартовых прямоугольных координатах $(x, y)$ при помощи формул (начало координат в центре вращения):$$\begin{aligned} & \tilde{x}=x \cos \varphi+y \sin \varphi, \\ & \tilde{y}=x \sin \varphi-y \cos \varphi, \end{aligned}$$где $\varphi$ – угол поворота. Несобственное вращение на плоскости может быть представлено как произведение собственного вращения на осевую симметрию.

В случае $n$-мерного евклидова пространства вращение аналитически выражается с помощью ортогональной матрицы, которая приводится к каноническому виду:$$M=\left\| \begin{array}{ccccc} u_1 & & & & 0 \\ & \ddots & & &\\ & & u_k & & \\ & & & \varepsilon_p & \\ 0 & & & & -\varepsilon_q \end{array}\right\|,$$где$$u_i=\left\|\begin{array}{rr} \cos \varphi_i & \sin \varphi_i \\ -\sin \varphi_i & \cos \varphi_i \end{array}\right\|.$$$\varepsilon_s$ – единичная матрица порядка $s(s=p, q)$. Возможны следующие случаи:

1) $p=n$ – тождественное преобразование;

2) $q=n$ – вращение является центральной симметрией;

3) $p+q=n$ – вращение является симметрией относительно $p$-плоскости (отражением от $p$-плоскости);

4) $M$ не содержит подматриц $\varepsilon_p$ и $-\varepsilon_q$ – вращение называется поворотом вокруг единственной неподвижной точки;

5) $M$ содержит подматрицы $u_i$ и $\varepsilon_p$, но не содержит подматрицу $-\varepsilon_q$ – вращение называется поворотом вокруг $p$-плоскости;

6) $M$ содержит подматрицы $u_i$ и $-\varepsilon_q$, но не содержит подматрицы $\varepsilon_p$ – вращение называется поворотным отражением от $(n-q)$-плоскости.

Вращение евклидова пространства $E_n$ вокруг данной точки образует группу относительно операции умножения вращения, изоморфную группе ортогональных преобразований векторного пространства $R^n$ или группе ортогональных матриц порядка $n$ над полем $R$. Группа вращения пространства $E_n$ является $n(n-1) / 2$-мерной группой Ли и действует в $E_n$ интранзитивно.