L-функция Дирихле

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$-фу́нкция Дирихле́ (${\displaystyle L}$-pяд Дирихле; ${\displaystyle L}$-ряд), функция комплексного переменного ${\displaystyle s=\sigma +it}$, определяемая для всех характеров Дирихле ${\displaystyle \operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}$ рядом

${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {ch} i(n)}{n^{s}}}.}$ (1)

${\displaystyle L}$-функции Дирихле ${\displaystyle {\rm {mod}}\,d}$ как функции действительного переменного ${\displaystyle s}$ введены в 1837 г. П. Г. Л. Дирихле (^[1]) в связи с доказательством бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии ${\displaystyle dm+l}$, разность ${\displaystyle d}$ и первый член ${\displaystyle l}$ которой – взаимно простые числа. Они представляют собой естественное обобщение дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$ на арифметической прогрессии и служат мощным средством исследований в аналитической теории чисел (^[2]; ^[3]; ^[4]).

Ряды (1), называемые рядами Дирихле, абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной области комплексной ${\displaystyle s}$-плоскости, для которой ${\displaystyle \sigma \geq 1+\gamma }$, ${\displaystyle \gamma >0}$. Если ${\displaystyle \operatorname {ch} i}$ – неглавный характер, то

${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)=s\int _{1}^{\infty }\sum _{n\leq u}\operatorname {ch} i(n)u^{-s-1}\,du.}$ (2)

В силу ограниченности суммы под знаком интеграла эта формула осуществляет аналитическое продолжение ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ как регулярной функции в полуплоскость ${\displaystyle \sigma >0}$.

Для любого ${\displaystyle \operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}$ справедливо представление ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ в виде произведения Эйлера по простым числам ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)=\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {\operatorname {ch} i(p)}{p^{s}}}{\Big )}^{-1},\quad \sigma >1.}$ (3)

Отсюда если ${\displaystyle \operatorname {ch} i=\operatorname {ch} i_{0}}$ – главный характер ${\displaystyle {\rm {mod}}\,d}$, то при ${\displaystyle d=1}$

${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i_{0})=\zeta (s)}$,

а для ${\displaystyle d>1}$

${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i_{0})=\zeta (s)\prod _{p\setminus d}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{s}}}{\Big )}}$.

Поэтому свойства ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i_{0})}$ на всей комплексной плоскости в основном определяются свойствами ${\displaystyle \zeta (s)}$. В частности, функция ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i_{0})}$ регулярна для всех ${\displaystyle s}$, кроме ${\displaystyle s=1}$, где она имеет простой полюс с вычетом ${\displaystyle d^{-1}\varphi (d)}$, ${\displaystyle \varphi }$ – функция Эйлера. Если же ${\displaystyle \operatorname {ch} i\neq \operatorname {ch} i_{0}}$ и ${\displaystyle \operatorname {ch} i^{*}}$ – примитивный характер, который индуцирует характер ${\displaystyle \operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}$, то

${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)=L(s,\operatorname {ch} i^{*})\prod _{p\setminus d}{\Big (}1-{\frac {\operatorname {ch} i^{*}(p)}{p^{s}}}{\Big )}.}$ (4)

Тем самым в главном ${\displaystyle L}$-функции Дирихле с характерами ${\displaystyle \operatorname {ch} i\neq \operatorname {ch} i_{0}}$ сводятся к таковым для примитивных характеров. Это свойство ${\displaystyle L}$-функций Дирихле играет существенную роль, т. к. многие результаты, касающиеся ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ имеют простой вид лишь для примитивных характеров. В случае примитивного характера ${\displaystyle \operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}$ аналитическое продолжение на всю плоскость и функциональное уравнение функции ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ получаются прямым обобщением метода Римана для ${\displaystyle \zeta (s)}$. Результат, если положить

${\displaystyle \xi (s,\operatorname {ch} i)={\Big (}{\frac {d}{\pi }}{\Big )}^{\frac {s+\delta }{2}}\Gamma {\Big (}{\frac {s+\delta }{2}}{\Big )}L(s,\operatorname {ch} i),\quad \delta ={\frac {1-\operatorname {ch} i(-1)}{2}}}$,

имеет вид

${\displaystyle \xi (1-s,{\overline {\operatorname {ch} }}i)=\varepsilon (\operatorname {ch} i)\xi (s,\operatorname {ch} i),}$ (5)

где ${\displaystyle \Gamma }$ – гамма-функция, ${\displaystyle \varepsilon (\operatorname {ch} i)=i^{\delta }d^{1/2}/\tau (\operatorname {ch} i)}$, ${\displaystyle \mid \varepsilon (\operatorname {ch} i)\mid =1}$, ${\displaystyle \tau (\operatorname {ch} i)}$ – сумма Гаусса, ${\displaystyle {\overline {\operatorname {ch} }}i}$ – характер, комплексно сопряжённый с ${\displaystyle \operatorname {ch} i}$. Это равенство называется функциональным уравнением функции ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$. Из него и формул (2) и (4) следует, что функции ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$, ${\displaystyle \xi (s,\operatorname {ch} i)}$ являются целыми функциями для всех ${\displaystyle \operatorname {ch} i\neq \operatorname {ch} i_{0}}$. Причём при ${\displaystyle \sigma \leq 0}$ ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)=0}$ лишь в точках ${\displaystyle s=-2\nu -\delta }$, ${\displaystyle \nu =0,1,2,\dots }$, и в точках ${\displaystyle s}$, где произведение из (4) обращается в нуль; эти точки называются тривиальными нулями ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$. Остальные нули ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ называются нетривиальными нулями. Для ${\displaystyle \sigma >1}$ функция ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)\neq 0}$; Ш.-Ж. де Ла Валле Пуссен показал, что ${\displaystyle L(1+it,\operatorname {ch} i)\neq 0}$; так что все нетривиальные нули ${\displaystyle L}$-функции Дирихле лежат в области ${\displaystyle 0<\sigma <1}$, которая называется критической полосой.

Распределение нетривиальных нулей, вообще значений ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ в критической полосе, является важнейшей проблемой теории ${\displaystyle L}$-функций Дирихле, имеющей фундаментальное значение для теории чисел.

То, что каждая из функций ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ имеет бесконечно много нетривиальных нулей и что законы распределения простых чисел в арифметических прогрессиях находятся в прямой зависимости от расположения этих нулей, показывают соответствующие аналоги формул Римана. Именно, пусть ${\displaystyle N(T,\operatorname {ch} i)}$ – число нулей функции ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ с примитивным ${\displaystyle \operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}$ в прямоугольнике ${\displaystyle 0<\sigma <1}$, ${\displaystyle \mid t\mid <T}$, ${\displaystyle T\geq 2}$. Тогда

${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(T,\operatorname {ch} i)={\frac {T}{2\pi }}{\rm {ln}}\,{\frac {Td}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O({\rm {ln}}\,Td)}$.

Пусть ${\displaystyle \Lambda (n)}$ – функция Мангольдта, ${\displaystyle 1\leq l\leq d}$, ${\displaystyle (l,d)=1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x;d,l)={\Sigma }_{n\leq x,\,n\equiv l\,({\rm {mod}}\,d)}\Lambda (n),\\\psi (x;\operatorname {ch} i)={\Sigma }_{n\leq x}\operatorname {ch} i(n)\Lambda (n).\end{aligned}}}$

Тогда по свойству ортогональности характеров

${\displaystyle \psi (x;d,l)={\frac {1}{\varphi (d)}}{\Sigma }_{\operatorname {ch} i\,{\rm {mod}}\,d}{\overline {\operatorname {ch} }}i(l)\psi (x;\operatorname {ch} i),}$ (6)

где суммирование производится по всем характерам ${\displaystyle \operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}$, и для ${\displaystyle \operatorname {ch} i}$-примитивного характера ${\displaystyle \operatorname {ch} i}$, ${\displaystyle \alpha =1-\delta }$:

${\displaystyle \psi (x;\operatorname {ch} i)=-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {x^{\delta -2m}}{2m-\delta }}-{\underset {s\to 0}{\rm {lim}}}\,{\Big \{}{\frac {L'(\alpha s,\operatorname {ch} i)}{L(\alpha s,\operatorname {ch} i)}}-{\frac {\alpha }{s}}{\Big \}}-\alpha {\rm {ln}}\,x}$,

где ${\displaystyle \rho =\beta +i\gamma }$ пробегает нетривиальные нули ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$, ${\displaystyle L'}$ – производная ${\displaystyle L}$ по ${\displaystyle s}$.

Практически более полезны приближённые формулы для ${\displaystyle \psi (x;\alpha )}$: для произвольного ${\displaystyle \operatorname {ch} i\neq \operatorname {ch} i_{0}}$, ${\displaystyle 2\leq T\leq x}$,

${\displaystyle \psi (x;\operatorname {ch} i)=-\sum _{\mid \gamma \mid <T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}+\sum _{\mid \gamma \mid <1}{\frac {1}{\rho }}+O{\Big (}{\frac {x}{T}}\,{\rm {ln}}^{2}\,xd{\Big )},}$ (7)

а для ${\displaystyle \operatorname {ch} i=\operatorname {ch} i_{0}}$

${\displaystyle \psi (x;\operatorname {ch} i_{0})=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+O({\rm {ln}}\,x{\rm {ln}}\,d).}$ (8)

Последняя функция вносит в сумму (6) величину, представляющую главный член.

Существует гипотеза, называемая расширенной гипотезой Римана, о том, что все нетривиальные нули ${\displaystyle L}$-функции Дирихле лежат на прямой ${\displaystyle \sigma =1/2}$. Если эта гипотеза справедлива, то для ${\displaystyle d\leq x}$

${\displaystyle \psi (x;d,l)={\frac {x}{\varphi (d)}}+O({\sqrt {x}}{\rm {ln}}^{2}x)}$,

и многие другие важные проблемы теории чисел получили бы своё окончательное решение. Однако вопросы, касающиеся расположения нетривиальных нулей ${\displaystyle L}$-функции Дирихле, исключительно трудны, причём для комплексных характеров получены более сильные результаты, чем для действительных.

Обобщением метода, указанного в 1899 г. Ш.-Ж. Валле Пуссеном для функции ${\displaystyle \zeta (s)}$, получена граница нетривиальных нулей ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$: для комплексного характера ${\displaystyle \operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}$ существует абсолютная постоянная ${\displaystyle C}$ такая, что ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ не имеет нулей в области

${\displaystyle \sigma >1-C/{\rm {ln}}\,d(\mid t\mid +2)}$;

если же ${\displaystyle \operatorname {ch} i}$ – действительный неглавный характер ${\displaystyle {\rm {mod}}\,d}$, то ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ может иметь в этой области самое большое один простой действительный (${\displaystyle t=0}$) нуль, который называется исключительным нулём ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$. Для исключительного нуля ${\displaystyle \beta }$ из формул числа классов квадратичных полей выведено неравенство

${\displaystyle \beta \leq 1-C/d^{1/2}{\rm {ln}}^{2}\,d}$.

Последняя известная граница для ${\displaystyle \beta }$ указана в 1935 г. К. Зигелем (С. Siegel): при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует положительное число ${\displaystyle C(\varepsilon )}$ такое, что

${\displaystyle \beta \leq 1-C(\varepsilon )d^{-\varepsilon }}$.

Эта оценка имеет, однако, существенный недостаток – она является неэффективной в том смысле, что по заданному ${\displaystyle \varepsilon }$ нельзя оценить численное значение постоянной ${\displaystyle C(\varepsilon )}$. Таким же недостатком страдают и теоретико-числовые результаты, вывод которых опирается на оценку Зигеля.

Вследствие указанных границ для нетривиальных нулей ${\displaystyle L}$-функции Дирихле и формул (6)–(8) справедлив асимптотический закон распределения простых чисел в виде:

${\displaystyle \psi (x;d,l)={\frac {x}{\varphi (d)}}+O{\big (}x\,\exp {{\big [}-C_{1}{\sqrt {{\rm {ln}}\,x}}{\big ]}}{\big )}}$,

где ${\displaystyle C_{1}}$ – абсолютная постоянная для ${\displaystyle d\leq ({\rm {ln}}\,x)^{1-\gamma }}$ при некотором фиксировании ${\displaystyle \gamma >0}$ и ${\displaystyle C_{1}=C_{1}(N)}$ – «неэффективная» постоянная для ${\displaystyle d\leq ({\rm {ln}}\,d)^{N}}$ при любом фиксированном ${\displaystyle N>1-\gamma }$.

Эти результаты являются лучшими в проблеме равномерного распределения простых чисел в арифметических прогрессиях растущей разности ${\displaystyle d}$. Для фиксированных значений ${\displaystyle d}$ известно несколько больше. В таком случае теория ${\displaystyle L}$-функций Дирихле при ${\displaystyle t\neq 0}$ во многом аналогична теории дзета-функции Римана (^[5]) и последняя граница нулей ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$, полученная по методу Виноградова оценки тригонометрических сумм, имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(s,\operatorname {ch} i)\neq 0\\{\text{для }}\sigma >1-C/{\rm {ln}}^{2/3}(\mid t\mid +2){\rm {ln}}^{1/3}{\rm {ln}}\,(\mid t\mid +2),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle C}$ – положительная постоянная, зависящая от ${\displaystyle d}$.

Этой границе нетривиальных нулей ${\displaystyle L}$-функции Дирихле фиксированного ${\displaystyle {\rm {mod}}\,d}$ отвечает лучший (1977) остаточный член в асимптотической формуле для ${\displaystyle \psi (x;d,l)}$ в виде:

${\displaystyle \ll x\exp {{\big [}-C{\rm {ln}}^{3/5}x\mid {\rm {ln}}^{1/5}{\rm {ln}}\,x{\big ]}}}$.

Все формулы относительно асимптотики функции ${\displaystyle \psi (x;d,l)}$ имеют аналоги для функции ${\displaystyle \pi (x;d,l)}$ – числа простых чисел ${\displaystyle p\leq x}$, ${\displaystyle p\equiv l\ ({\rm {mod}}\,d)}$, с главным членом ${\displaystyle {\rm {li}}\,x/\varphi (d)}$ вместо ${\displaystyle x/\varphi (d)}$ и остаточным членом, меньшим на множитель ${\displaystyle {\rm {ln}}\,x}$.

К числу основных направлений исследований в современной теории ${\displaystyle L}$-функций Дирихле относятся также исследования плотности распределения нетривиальных нулей ${\displaystyle L}$-функции Дирихле, содержание которых составляют оценки величин:

${\displaystyle {\begin{aligned}N(\sigma ,T,\operatorname {ch} i),\quad {\Sigma }_{\operatorname {ch} i\ {\rm {mod}}\,d}N(\sigma ,T,\operatorname {ch} i),\quad {\Sigma }_{d\leq D}{\Sigma }_{\operatorname {ch} i^{*}{\rm {mod}}\,d}N(\sigma ,T,\operatorname {ch} i),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle N(\sigma ,T,\operatorname {ch} i)}$ обозначает число нулей ${\displaystyle L(s,\operatorname {ch} i)}$ в прямоугольнике ${\displaystyle 0<\alpha \leq \sigma <1}$, ${\displaystyle \mid t\mid <T}$, ${\displaystyle \operatorname {ch} i^{*}}$ – примитивный характер ${\displaystyle {\rm {mod}}\,d}$.