Тригонометрическая сумма

Тригонометри́ческая су́мма, конечная сумма ${\displaystyle S}$ вида

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi iF(x)},}$

где ${\displaystyle P\geqslant 1}$, ${\displaystyle P}$ – целое число, ${\displaystyle F(x)}$ – действительная функция ${\displaystyle x}$. Тригонометрическими суммами также называются и более общие суммы ${\displaystyle S^{\prime }}$ вида

${\displaystyle S^{\prime }=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\ldots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}\Phi \left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)e^{2\pi iF\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)},}$

где ${\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}$ – действительная функция, a ${\displaystyle \Phi \left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}$ – произвольная комплекснозначная функция.

Если ${\displaystyle F(x)}$ – многочлен, то ${\displaystyle S}$ называется суммой Вейля; если многочлен ${\displaystyle F(x)}$ имеет вид

${\displaystyle F(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x}{q}},\quad \left(a_{n},\ldots ,a_{1},q\right)=1,}$

то ${\displaystyle S}$ называется рациональной тригонометрической суммой; если ${\displaystyle P=q}$, то ${\displaystyle S}$ называется полной тригонометрической суммой; если ${\displaystyle r=1}$, ${\displaystyle \Phi \left(x_{1}\right)=1}$ при простом ${\displaystyle x_{1}}$, и ${\displaystyle \Phi \left(x_{1}\right)=0}$ при составном ${\displaystyle x_{1}}$, то ${\displaystyle S}$ называется тригонометрической суммой с простыми числами; если ${\displaystyle r\geqslant 1}$, ${\displaystyle \Phi \left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)=1}$, ${\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}$ – многочлен, то ${\displaystyle S^{\prime }}$ называется кратной суммой Вейля. Основной проблемой в теории тригонометрических сумм является проблема разыскивания верхней грани модуля ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S^{\prime }}$.