Группа Гротендика

Гру́ппа Гротенди́ка аддитивной категории, абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть ${\displaystyle C}$ – малая аддитивная категория и ${\displaystyle G}$ – абелева группа. Отображение ${\displaystyle \varphi :C\to G}$ называется аддитивным, если для любой точной последовательности ${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$ объектов из ${\displaystyle C}$ выполняется ${\displaystyle \varphi (L)+\varphi (N)=\varphi (M)}$. Существует группа ${\displaystyle K(C)}$, называемая группой Гротендика, и такое аддитивное отображение ${\displaystyle k:C\to K(C)}$, называемое универсальным отображением, что для любого аддитивного отображения ${\displaystyle \varphi :C\to G}$ существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle \chi :K(C)\to G}$, удовлетворяющий условию ${\displaystyle \varphi =\chi \cdot k}$.

Впервые эта конструкция была рассмотрена А. Гротендиком для категории когерентных и локально свободных пучков на схемах при доказательстве теоремы Римана – Роха. (Cм. K-функтор в алгебраической геометрии). Группа ${\displaystyle K(C)}$ определена однозначно с точностью до изоморфизма и может быть задана образующими – каждому объекту ${\displaystyle L\in C}$ соответствует образующая ${\displaystyle [L]}$ – и соотношениями ${\displaystyle [M]-[L]-[N]=0}$ для всякой точной последовательности ${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$.

Частным случаем этого понятия является группа Гротендика коммутативного моноида ${\displaystyle M}$ (который можно рассматривать как категорию). Тогда универсальное отображение ${\displaystyle k}$ является гомоморфизмом ${\displaystyle M}$ в группу ${\displaystyle K(M)}$, а если в ${\displaystyle M}$ выполняется закон сокращения, то ${\displaystyle k}$ – инъективный гомоморфизм.

Если ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство, то группа Гротендика аддитивной категории векторных расслоений над ${\displaystyle X}$ является инвариантом пространства, изучаемым в ${\displaystyle K}$-теории. Если ${\displaystyle C}$ – категория невырожденных симметрических билинейных форм на векторных пространствах над полем ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle K(C)}$ есть группа Витта – Гротендика над ${\displaystyle k}$ (см. Кольцо Витта).