Тензорное произведение

Те́нзорное произведе́ние, 1) тензорное произведение унитарных модулей ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$ над коммутативно-ассоциативным кольцом ${\displaystyle A}$ с единицей – ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle V_{1}\otimes _{A}V_{2}}$ вместе с билинейным отображением

${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)\longmapsto x_{1}\otimes x_{2}\in V_{1}\otimes _{A}V_{2}}$,

универсальным в следующем смысле: для любого билинейного отображения ${\displaystyle \beta :V_{1}\times V_{2}\rightarrow W}$, где ${\displaystyle W}$ – произвольный ${\displaystyle A}$-модуль, существует единственное линейное отображение ${\displaystyle b:V_{1}\otimes _{A}V_{2}\rightarrow W}$ такое, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\left(x_{1},x_{2}\right)=b\left(x_{1}\otimes x_{2}\right),\quad x_{1}\in V_{1},x_{2}\in V_{2}}$.

Тензорное произведение определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Оно всегда существует и может быть построено как фактормодуль свободного ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle F}$, порождённого множеством ${\displaystyle V_{1}\times V_{2}}$, по подмодулю ${\displaystyle R}$, порождённому элементами вида

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x_{1}+y,x_{2}\right)-\left(x_{1},x_{2}\right)-\left(y,x_{2}\right),\\\left(x_{1},x_{2}+z\right)-\left(x_{1},x_{2}\right)-\left(x_{1},z\right),\\\left(cx_{1},x_{2}\right)-c\left(x_{1},x_{2}\right),\\\left(x_{1},cx_{2}\right)-c\left(x_{1},x_{2}\right),\\x_{1},y\in V_{1},x_{2},z\in V_{2},c\in A;\end{aligned}}}$

при этом ${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}=\left(x_{1},x_{2}\right)+R}$. Если отказаться от коммутативности кольца ${\displaystyle A}$, то близкая конструкция позволяет сопоставить правому ${\displaystyle A}$-модулю ${\displaystyle V_{1}}$ и левому ${\displaystyle A}$-модулю ${\displaystyle V_{2}}$ абелеву группу ${\displaystyle V_{1}\otimes _{A}V_{2}}$, также называемую тензорным произведением этих модулей (Бурбаки. 1962). В дальнейшем ${\displaystyle A}$ предполагается коммутативным.

Tензорное произведение обладает следующими свойствами:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\otimes V^{i}&\cong V,\\V_{1}\otimes _{A}V_{2}&\cong V_{2}\otimes _{A}V_{1},\\\left(V_{1}\otimes _{A}V_{2}\right)\otimes _{A}V_{3}&\cong V_{1}\otimes _{A}\left(V_{2}\otimes _{A}V_{3}\right),\\\left(\oplus _{i\in I}V_{i}\right)\otimes _{A}W&\cong \left(\oplus _{i\in I}\left(V_{i}\otimes _{A}W\right)\right.\end{aligned}}}$

для любых ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle W}$.

Если ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ и ${\displaystyle \left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ – базисы модулей ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$, то ${\displaystyle \left(x_{i}\otimes y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ – базис модуля ${\displaystyle V_{1}\otimes _{A}V_{2}}$. В частности,

${\displaystyle \operatorname {dim} \left(V_{1}\otimes _{A}V_{2}\right)=\operatorname {dim} V_{1}\cdot \operatorname {dim} V_{2}}$,

если ${\displaystyle V_{i}}$ – свободные конечно порождённые модули (например, конечномерные векторные пространства над полем ${\displaystyle A}$). Тензорное произведение циклических ${\displaystyle A}$-модулей вычисляется по формуле

${\displaystyle (A/I)\otimes _{A}(A/J)\cong A/(I+J)}$,

где ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$ – идеалы в ${\displaystyle A}$.

Определяется также тензорное произведение любого (не обязательно конечного) семейства ${\displaystyle A}$-модулей. Тензорное произведение

${\displaystyle {\overset {p}{\otimes }}V=\underbrace {V\otimes _{A}\cdots \otimes _{A}V} _{p{\text{ раз}}}}$

называется ${\displaystyle p}$-й тензорной степенью ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle V}$; его элементы – это контравариантные тензоры валентности ${\displaystyle p}$ на ${\displaystyle V}$.

Любым двум гомоморфизмам ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle \alpha _{i}:V_{i}\rightarrow W_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2}$, сопоставляется их тензорное произведение ${\displaystyle \alpha _{1}\otimes \alpha _{2}}$, являющееся гомоморфизмом ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle V_{1}\otimes _{A}V_{2}\rightarrow W_{1}\otimes _{A}W_{2}}$ и определяемое формулой

${\displaystyle \left(\alpha _{1}\otimes \alpha _{2}\right)\left(x_{1}\otimes x_{2}\right)=\alpha \left(x_{1}\right)\otimes \alpha _{2}\left(x_{2}\right),\quad x_{i}\in V_{i}}$.

Эта операция также распространяется на любые семейства гомоморфизмов и обладает функторными свойствами (см. в статье Модуль). Она определяет гомоморфизм ${\displaystyle A}$-модулей

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}\left(V_{1},W_{1}\right)\otimes _{A}\operatorname {Hom} _{A}\left(V_{2},W_{2}\right)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{A}\left(V_{1}\otimes V_{2},W_{1}\otimes W_{2}\right)}$,

который является изоморфизмом, если все ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle W_{i}}$ свободны и конечно порождены.

2) Тензорное произведение алгебр ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ над коммутативно-ассоциативным кольцом ${\displaystyle A}$ с единицей – алгебра ${\displaystyle C_{1}\otimes _{A}C_{2}}$ над ${\displaystyle A}$, которая получается, если ввести в тензорное произведение ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle C_{1}\otimes _{A}C_{2}}$ умножение по формуле

${\displaystyle \left(x_{1}\otimes x_{2}\right)\left(y_{1}\otimes y_{2}\right)=\left(x_{1}y_{1}\right)\otimes \left(x_{2}y_{2}\right),\quad x_{i},y_{i}\in C_{i}}$.

Определение распространяется на случай любого семейства сомножителей. Тензорное произведение ${\displaystyle C_{1}\otimes _{A}C_{2}}$ ассоциативно, коммутативно или содержит единицу, если этим свойством обладают обе алгебры ${\displaystyle C_{i}}$. Если ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ – алгебры с единицами над полем ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle {\tilde {C}}_{1}=C_{1}\otimes 1}$ и ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}=C_{2}\otimes 1}$ – подалгебры в ${\displaystyle C_{1}\otimes _{A}C_{2}}$, изоморфные ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ и поэлементно перестановочные. Обратно, пусть ${\displaystyle C}$ – алгебра c единицей над полем ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$ – её подалгебры, содержащие единицу и такие, что ${\displaystyle x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}}$ для любых ${\displaystyle x_{i}\in C_{i}}$. Тогда существует гомоморфизм ${\displaystyle A}$-алгебр ${\displaystyle \varphi :C_{1}\otimes {}_{A}C_{2}\rightarrow C}$ такой, что ${\displaystyle \varphi \left(x_{1}\otimes x_{2}\right)=x_{1}x_{2}}$, ${\displaystyle x_{i}\in C_{i}}$. Для того чтобы ${\displaystyle \varphi }$ был изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы в ${\displaystyle C_{1}}$ существовал базис над ${\displaystyle A}$, являющийся базисом правого ${\displaystyle C_{2}}$-модуля ${\displaystyle C}$.

3) Тензорное произведение представлений ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ группы ${\displaystyle G}$ в векторных пространствах ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ соответственно – представление ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}}$ группы ${\displaystyle G}$ в векторном пространстве ${\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}}$, однозначно определённое условием:

${\displaystyle \left(\pi _{1}\otimes \pi _{2}\right)\left(\xi _{1}\otimes \xi _{2}\right)=\pi _{1}(g)\xi _{1}\otimes \pi _{2}(g)\xi _{2}}$

для всех ${\displaystyle \xi _{1}\in E_{1}}$, ${\displaystyle \xi _{2}\in E_{2}}$, ${\displaystyle g\in G}$. Если ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ – непрерывные унитарные представления топологической группы ${\displaystyle G}$ в гильбертовых пространствах ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ соответственно, то операторы ${\displaystyle \left(\pi _{1}\otimes \pi _{2}\right)(g)}$, ${\displaystyle g\in G}$, в векторном пространстве ${\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}}$ допускают однозначное продолжение по непрерывности до непрерывных линейных операторов ${\displaystyle \left(\pi _{1}{\bar {\otimes }}\pi _{2}\right)(g)}$, ${\displaystyle g\in G}$, в гильбертовом пространстве ${\displaystyle E_{1}{\bar {\otimes }}E_{2}}$ [пополнении пространства ${\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}}$ относительно скалярного произведения, определяемого формулой ${\displaystyle \left(\xi _{1}\otimes \xi _{2},\eta _{1}\otimes \eta _{2}\right)=\left(\xi _{1},\eta _{1}\right)\left(\xi _{2},\eta _{2}\right)}$] и отображение ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}:g\rightarrow \left(\pi _{1}{\bar {\otimes }}\pi _{2}\right)g}$, ${\displaystyle g\in G}$, является непрерывным унитарным представлением группы ${\displaystyle G}$ в гильбертовом пространстве и ${\displaystyle E_{1}{\bar {\otimes }}E_{2}}$, называемым тензорным произведением унитарных представлений ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$. Представления ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}\otimes \pi _{1}}$ эквивалентны (унитарны, если ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ унитарны). Операция тензорного произведения может быть определена и для непрерывных представлений топологических групп в топологических векторных пространствах общего вида.

4) Тензорное произведение векторных расслоений ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ над топологическим пространством ${\displaystyle X}$ – векторное расслоение ${\displaystyle E\otimes F}$ над ${\displaystyle X}$, слоем которого в точке ${\displaystyle x\in X}$ является тензорное произведение слоёв ${\displaystyle E_{x}\otimes F_{x}}$. Тензорное произведение можно определить как расслоение, функции перехода которого являются тензорным произведением функций перехода расслоений ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ в одном и том же тривиализирующем покрытии (см. Тензорное произведение матриц).