Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство, евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными (несобственными) точками, прямыми и плоскостью. При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость – одной несобственной прямой, всё пространство – одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; параллельные плоскости дополняются общей несобственной прямой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат несобственной плоскости.

Проективное пространство можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных между собой четвёрок действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как точки проективного пространства, и тогда числа ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ${\displaystyle x_{4}}$ называются однородными координатами точек, либо как плоскости проективного пространства, а числа ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$, ${\displaystyle u_{3}}$, ${\displaystyle u_{4}}$ называются однородными координатами плоскостей. Отношение инцидентности точки и плоскости выражается равенством ${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{4}u_{i}x_{i}=0}$. Аналогичным образом вводится понятие ${\displaystyle n}$-мерного проективного пространства, играющего важную роль в алгебраической геометрии.