Цилиндрические функции

Цилиндри́ческие фу́нкции, класс специальных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-v^{2})y=0,}$ (1)

где ${\displaystyle v}$ – произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид

${\displaystyle J_{v}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(x/2)^{2k+v}}{k!\Gamma (k+v+1)}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ – гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях ${\displaystyle x,v\geqslant 0}$, называется цилиндрической функцией 1-го рода порядка (индекса) ${\displaystyle v}$. В частности, цилиндрическая функция нулевого порядка имеет вид

${\displaystyle J_{0}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(x/2)^{2k}}{(k!)^{2}}}}$.

Если ${\displaystyle v}$ – целое отрицательное, ${\displaystyle v=-n}$, то ${\displaystyle J_{v}(x)}$ определяется как

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)}$.

Цилиндрическая функция порядка ${\displaystyle v=m+1/2}$, где ${\displaystyle m}$ – целое число, сводится к элементарным функциям, например

${\displaystyle J_{1/2}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin x,}$
${\displaystyle J_{-1/2}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos x}$.

Функции ${\displaystyle J_{v}(x)}$ и уравнение (1) называют также по имени Ф. В. Бесселя (функции Бесселя, уравнение Бесселя ). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1738 г., функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвящённой колебанию тяжёлой цепи (1732), а функция порядка ⅓ – в письме Я. Бернулли к Г. В. Лейбницу' '(1703).

Если ${\displaystyle v}$ не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

${\displaystyle y=C_{1}J_{v}(x)+C_{2}J_{-v}(x),}$ (2)

где ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ – постоянные. Если же ${\displaystyle v}$ – целое, то ${\displaystyle J_{v}(x)}$ и ${\displaystyle J_{-v}(x)}$ линейно зависимы и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода, вводят ещё цилиндрические функции 2-го рода (называемые также функциями Вебера):

${\displaystyle Y_{v}(x)=\lim _{\mu ->v}{\frac {J_{\mu }(x)\cos \mu \pi -J_{-\mu }(x)}{\sin \mu \pi }}}$.

При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

${\displaystyle y=C_{1}J_{v}(x)+C_{2}Y_{v}(x)}$

как при целом, так и при нецелом ${\displaystyle v}$.

В приложениях встречаются цилиндрические функции мнимого аргумента

${\displaystyle I_{v}(x)=i^{-v}J_{v}(ix)}$

и

${\displaystyle K_{v}(x)=\lim _{\mu ->v}{\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\mu }(x)-I_{\mu }(x)}{\sin \mu \pi }}}$

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+v^{2})y=0}$,

общее решение которого имеет вид

${\displaystyle y=C_{1}I_{v}(x)+C_{2}K_{v}(x)}$

как при целом, так и при нецелом ${\displaystyle v}$. Часто употребляются ещё цилиндрические функции 3-го рода (или функции Ганкеля)

${\displaystyle H_{v}^{(1)}(x)=J_{v}(x)+iY_{v}(x),}$
${\displaystyle H_{v}^{(2)}(x)=J_{v}(x)-iY_{v}(x)}$,

а также функции Томсона ${\displaystyle ber(x),bei(x)}$, определяемые соотношением

${\displaystyle ber(x)+ibei(x)=I_{0}(x{\sqrt {i}})}$.

Цилиндрические функции изучены очень детально и для комплексных значений аргументов.