Функция Макдональда

Фу́нкция Макдо́нальда, модифицированная цилиндрическая функция, бесселева функция мнимого аргумента, – функция

${\displaystyle K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin(\nu \pi )}}}$,

где ${\displaystyle \nu }$ – произвольное нецелое действительное число,

${\displaystyle I_{\nu }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +2m}}{m!\Gamma (\nu +m+1)}}}$

– цилиндрическая функция чисто мнимого аргумента. Рассмотрена Х. Макдональдом (1899). Если ${\displaystyle n}$ – целое число, то

${\displaystyle K_{n}(z)=\lim _{\nu ->n}K_{\nu }(z)}$.

Функция Макдональда ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$ является решением дифференциального уравнения

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})y=0,}$ (*)

стремящимся экспоненциально к нулю, когда ${\displaystyle {\ce {z->\infty }}}$, принимая положительные значения. Функции ${\displaystyle I_{\nu }(z)}$ и ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$ образуют фундаментальную систему решений уравнения (*).

При ${\displaystyle \nu \geqslant 0}$ функция ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$ имеет корни лишь в случае ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)<0}$. Если ${\displaystyle \pi /2<\mid \arg z\mid <\pi }$, то число всех корней в этих двух квадрантах равно ближайшему к ${\displaystyle \nu -{\frac {1}{2}}}$ чётному числу, если только ${\displaystyle \nu -{\frac {1}{2}}}$ не является целым; в последнем случае число всех корней равно ${\displaystyle \nu -{\frac {1}{2}}}$. При ${\displaystyle \arg z=\pm \pi }$ корней нет, если только ${\displaystyle \nu -{\frac {1}{2}}}$ не целое. Ряды и асимптотические представления:

${\displaystyle K_{n+1/2}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{1/2}e^{-z}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(n+r)!}{r!(n-r)!(2z)^{r}}}}$,

${\displaystyle n}$ – целое неотрицательное;

${\displaystyle K_{0}(z)=-\ln \left({\frac {z}{2}}\right)I_{0}(z)+\sum _{m=0}^{\infty }\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m}{\frac {1}{(m!)^{2}}}\psi (m+1),}$
${\displaystyle \psi (1)=-C,\quad \psi (m+1)=1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{m}}-C,}$

${\displaystyle C=0,5772157\ldots }$ – постоянная Эйлера;

${\displaystyle K_{n}(z)={\frac {1}{2}}\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{m}(n-m-1)!}{m!(z/2)^{n-2m}}}+(-1)^{n-1}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(z/2)^{n+2m}}{m!(n+m)!}}\times }$
${\displaystyle \times \left\{\ln(z/2)-{\frac {1}{2}}\psi (m+1)-{\frac {1}{2}}\psi (n+m+1)\right\},}$

${\displaystyle n\geqslant 1}$ – целое;

${\displaystyle K_{\nu }(z)\sim \left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{1/2}e^{-z}\left[1+{\frac {4\nu ^{2}-1^{2}}{1!8z}}+{\frac {(4\nu ^{2}-1^{2})(4\nu ^{2}-3^{2})}{2!(8z)^{2}}}+\ldots \right]}$,

${\displaystyle z}$ велико и ${\displaystyle \mid \arg z\mid <\pi /2}$.

Рекуррентные формулы:

${\displaystyle K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-{\frac {2\nu }{z}}K_{\nu }(z),\quad K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2{\frac {dK_{\nu }(z)}{dz}}}$.