Факториальное кольцо

Факториа́льное кольцо́ (гауссово кольцо), кольцо с однозначным разложением на множители. Точнее, факториальное кольцо ${\displaystyle A}$ – это область целостности, в которой можно выбрать систему экстремальных элементов ${\displaystyle P}$ такую, что любой ненулевой элемент ${\displaystyle a\in A}$ допускает единственное представление вида

${\displaystyle a=u\prod _{p\in P}p^{n(p)},}$

где ${\displaystyle u}$ обратим, а целые неотрицательные показатели ${\displaystyle n(p)}$ отличны от нуля только для конечного числа элементов ${\displaystyle p\in P}$. При этом элемент называется экстремальным в ${\displaystyle A}$, если из ${\displaystyle p=uv}$ следует, что либо ${\displaystyle u}$, либо ${\displaystyle v}$ обратим в ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle p}$ необратим в ${\displaystyle A}$.

В факториальном кольце существует наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное любых двух элементов. Кольцо ${\displaystyle A}$ факториально тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля и выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) любой дивизориальный идеал в ${\displaystyle A}$ является главным;

2) любой простой идеал высоты ${\displaystyle 1}$ главный;

3) любое непустое семейство главных идеалов обладает максимальным элементом, и пересечение любых двух главных идеалов является главным идеалом.

Любое кольцо главных идеалов факториально. Дедекиндово кольцо факториально, только если оно – кольцо главных идеалов. Если ${\displaystyle S}$ – мультипликативная система в факториальном кольце ${\displaystyle A}$, то кольцо частных ${\displaystyle S^{-1}A}$ факториально. Для кольца Зариского ${\displaystyle R}$ из факториальности его пополнения ${\displaystyle {\hat {R}}}$ следует факториальность самого ${\displaystyle R}$.

Подкольцо и факторкольцо факториального кольца не обязаны быть факториальными кольцами. Кольцо многочленов над факториальным кольцом и кольцо формальных степенных рядов над полем или дискретно нормированным кольцом факториально. Однако кольцо формальных степенных рядов над факториальным кольцом не обязано быть факториальным.

Область целостности факториальна тогда и только тогда, когда её мультипликативная полугруппа гауссова, в связи с этим факториальные кольца называют также гауссовыми кольцами.