Целостное кольцо

Це́лостное кольцо́ (область целостности), коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является целостным кольцом. Обратно, любое целостное кольцо может быть вложено в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.

Если ${\displaystyle A}$ – целостное кольцо, то кольцо многочленов ${\displaystyle A[X]}$ и кольцо формальных степенных рядов ${\displaystyle A[[X]]}$ над ${\displaystyle A}$ также будут целостными кольцами. Если ${\displaystyle A}$ – коммутативное кольцо с единицей и ${\displaystyle I}$ – некоторый идеал в ${\displaystyle A}$, то кольцо ${\displaystyle A/I}$ является целостным тогда и только тогда, когда идеал ${\displaystyle I}$ прост. Кольцо ${\displaystyle A}$ будет целостным тогда и только тогда, когда спектр кольца ${\displaystyle A}$ – неприводимое топологическое пространство.

Иногда в определении целостного кольца не требуют коммутативности кольца ${\displaystyle A}$. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу. Однако, вообще говоря, неверно, что любое некоммутативное целостное кольцо может быть вложено в некоторое тело (см. Кон. 1975^[1]).