Формальный степенной ряд

Форма́льный степенно́й ряд над кольцом ${\displaystyle A}$ от коммутирующих переменных ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$, алгебраическое выражение вида

${\displaystyle F=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k},}$

где ${\displaystyle F_{k}}$ – форма от ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ с коэффициентами из ${\displaystyle A}$ степени ${\displaystyle k}$. Минимальное значение ${\displaystyle k}$, для которого ${\displaystyle F_{k}\neq 0}$, называется порядком ряда ${\displaystyle F}$, а форма ${\displaystyle F_{k}}$ называется начальной формой ряда.

Если

${\displaystyle F=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}{\text{ и }}G=\sum _{k=0}^{\infty }G_{k}}$

– два формальных степенных ряда, то, по определению,

${\displaystyle F+G=\sum _{k=0}^{\infty }\left(F_{k}+G_{k}\right)}$

и

${\displaystyle F\cdot G=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n},}$

где

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}G_{n-k}}$.

Относительно этих операций множество ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ всех формальных степенных рядов образует кольцо.

Многочлен ${\displaystyle F=\sum _{k=0}^{n}F_{k}}$, где ${\displaystyle F_{k}}$ – форма степени ${\displaystyle k}$, отождествляется с формальным степенным рядом ${\displaystyle C=\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}}$, где ${\displaystyle C_{k}=F_{k}}$ при ${\displaystyle k\leqslant n}$ и ${\displaystyle C_{k}=0}$ при ${\displaystyle k>n}$. Это определяет вложение ${\displaystyle i}$ кольца многочленов ${\displaystyle A\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]}$ в кольцо ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$. В кольце ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ определена топология, для которой идеалы

${\displaystyle I_{n}=\left\{F\in A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]\mid F_{k}=0{\text{ при }}k\leqslant n\right\}}$

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, кольцо ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ полно относительно этой топологии, и образ вложения ${\displaystyle i}$ всюду плотен в ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$. Относительно этой топологии формальный степенной ряд ${\displaystyle F}$ является пределом своих частичных сумм ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{k}}$.

Пусть ${\displaystyle A}$ – коммутативное кольцо с единицей. Тогда таково же и кольцо ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$. Если ${\displaystyle A}$ – область целостности, то и ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ – область целостности. Формальный степенной ряд ${\displaystyle F}$ обратим в кольце ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F_{0}}$ обратим в ${\displaystyle A}$. Если ${\displaystyle A}$ – нётерово, то и ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ также нётерово. Если ${\displaystyle A}$ – локальное кольцо с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, то ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ – локальное кольцо с максимальным идеалом ${\displaystyle \left({\mathfrak {m}},T_{1},\ldots ,T_{n}\right)}$.

Если локальное кольцо ${\displaystyle A}$ отделимо и полно в ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-адической топологии, то в кольце ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n}\right]\right]}$ справедлива подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть ${\displaystyle F}$ – формальный степенной ряд такой, что для некоторого ${\displaystyle k}$ форма ${\displaystyle F_{k}}$ содержит член ${\displaystyle aT_{n}^{k}}$, где ${\displaystyle a\notin {\mathfrak {m}}}$, и пусть ${\displaystyle k}$ – минимальный индекс с этим свойством. Тогда ${\displaystyle F=UP}$, где ${\displaystyle U}$ – обратимый формальный степенной ряд и ${\displaystyle P}$ – многочлен вида ${\displaystyle T_{n}^{k}+a_{k-1}T_{n}^{k-1}+\ldots +a_{0}}$, где коэффициенты ${\displaystyle a_{i}}$ принадлежат максимальному идеалу кольца ${\displaystyle A\left[\left[T_{1},\ldots ,T_{n-1}\right]\right]}$. Элементы ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle P}$ однозначно определены рядом ${\displaystyle F}$.

Кольцо формального степенного ряда над полем или дискретно нормированным кольцом факториально.

Рассматриваются также кольца формального степенного ряда от некоммутирующих переменных.