Кольцо частных

Кольцо́ ча́стных, кольцо, связанное с данным ассоциативным кольцом ${\displaystyle R}$ с единицей. Кольцом частных (классическим правым) кольца ${\displaystyle R}$ называется кольцо ${\displaystyle Q_{\rm {cl}}(R)}$, в котором все регулярные элементы (т е. не делители нуля) кольца ${\displaystyle R}$ обратимы и любой элемент из ${\displaystyle Q_{\rm {cl}}(R)}$ имеет вид ${\displaystyle ab^{-1}}$, где ${\displaystyle a,b\in R}$. Кольцо ${\displaystyle Q_{\rm {cl}}(R)}$ существует тогда и только тогда, когда ${\displaystyle R}$ удовлетворяет правому условию Оре. Кольцо частных максимальное (или полное) правое кольца ${\displaystyle R}$ – это кольцо ${\displaystyle Q_{\rm {max}}(R)={\rm {Hom}}_{H}\,({\hat {R}},{\hat {R}})}$, где ${\displaystyle {\hat {R}}}$ – инъективная оболочка ${\displaystyle R}$ как правого ${\displaystyle R}$-модуля, ${\displaystyle H={\rm {Hom}}_{R}\,({\hat {R}},{\hat {R}})}$ – кольцо эндоморфизмов правого ${\displaystyle R}$-модуля ${\displaystyle {\hat {R}}}$. Кольцо ${\displaystyle Q_{\rm {max}}}$ можно определить так же, как прямой предел

${\displaystyle {\underset {\longrightarrow }{\rm {lim}}}\,{\rm {Hom}}\,(D,R)}$,

где ${\displaystyle D}$ – множество всех плотных правых идеалов кольца ${\displaystyle R}$ [правый идеал ${\displaystyle D}$ кольца ${\displaystyle R}$ называется плотным, если

${\displaystyle \forall 0\neq r_{1}\in R,\quad r_{2}\in R\quad \exists r\in R\,\,(r_{1}r\neq 0,\ r_{2}r\in D)]}$.