Нормированное кольцо

Норми́рованное кольцо́, непустое множество ${\displaystyle R}$, для элементов которого определены две бинарные операции – сложение и умножение (обозначаемые обычно + и · соответственно; знак · обычно опускается), причём ${\displaystyle R}$ является нормированным пространством и предполагаются выполненными следующие условия ${\displaystyle (a,b,c\in R)}$:

1. Коммутативность сложения: ${\displaystyle a+b=b+a}$.

2. Ассоциативность сложения: ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$.

3. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение ${\displaystyle a+x=b}$ имеет решение ${\displaystyle x=b-a\in R}$.

4. Дистрибутивность умножения относительно сложения: ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$ и ${\displaystyle (b+a)c=bc+ac}$.

Если для любых ${\displaystyle a,b\in R}$ выполняется равенство ${\displaystyle ab=ba}$, то нормированное кольцо называется коммутативным. Коммутативные нормированные кольца называются также банаховыми алгебрами.