Кольцо Крулля

Кольцо́ Кру́лля, коммутативное целостное кольцо ${\displaystyle A}$, для которого существует семейство ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in I}}$ дискретных нормирований поля частных ${\displaystyle K}$ кольца ${\displaystyle A}$, удовлетворяющее следующим условиям: а) для любого ${\displaystyle x\in K\backslash \{0\}}$ и для всех ${\displaystyle i}$, исключая, быть может, конечное число, ${\displaystyle v_{i}(x)=0}$; б) для ${\displaystyle x\in K\backslash \{0\}}$ условие ${\displaystyle x\in A}$ эквивалентно тому, что ${\displaystyle v_{i}(x)\geqslant 0}$ для всех ${\displaystyle i\in I}$. Нормирования ${\displaystyle v_{i}}$ называются при этом существенными.

Кольца Крулля были рассмотрены В. Круллем (Krull. 1932^[1]) под названием колец конечного дискретного главного порядка. Они являются наиболее естественным классом колец, в которых существует теория дивизоров (см. также Дивизориальный идеал, Группа классов дивизоров). Упорядоченная группа дивизоров кольца Крулля ${\displaystyle A}$ канонически изоморфна упорядоченной группе ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(I)}}$. Существенные нормирования кольца Крулля могут быть отождествлены с множеством простых идеалов высоты 1. Кольцо Крулля вполне целозамкнуто. Любое целозамкнутое нётерово кольцо, в частности дедекиндово кольцо, является кольцом Крулля. Кольцо ${\displaystyle k\left[X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \right]}$ многочленов от бесконечного числа переменных – пример кольца Крулля, не являющегося нётеровым. Вообще, любое факториальное кольцо – кольцо Крулля. Для того чтобы кольцо Крулля было факториально, необходимо и достаточно, чтобы любой его простой идеал высоты 1 был главным.

Класс колец Крулля замкнут относительно операций локализации, перехода к кольцу многочленов или формальных степенных рядов, а также целого замыкания в конечном расширении поля частных ${\displaystyle K}$.