Гауссова полугруппа

Га́уссова полугру́ппа, коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокращения, в которой любой необратимый элемент ${\displaystyle a}$ разложим в произведение неприводимых (т. е. не представимых в виде произведения необратимых сомножителей) элементов, причём для любых двух таких разложений

${\displaystyle a=b_{1}\ldots b_{k}\ \ \ {\text{и}}\ \ \ a=c_{1}\ldots c_{l}}$

имеет место ${\displaystyle k=l}$ и, быть может, после перенумерования сомножителей, справедливы равенства

${\displaystyle b_{1}=c_{1}\varepsilon _{1},\ \ldots ,\ \ b_{k}=c_{k}\varepsilon _{k},}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}$ – обратимые элементы. Типичные примеры гауссовых полугрупп – мультипликативные полугруппы отличных от нуля целых чисел, отличных от нулевого многочленов от одного неизвестного над полем. Любые два элемента гауссовой полугруппы обладают наибольшим общим делителем.