Главный идеал

Гла́вный идеа́л, идеал (кольца, алгебры, полугруппы или решётки), порождаемый некоторым одним элементом ${\displaystyle a}$, т. е. наименьший идеал, содержащий элемент ${\displaystyle a}$.

Левый главный идеал ${\displaystyle L(a)}$ кольца ${\displaystyle K}$, кроме самого элемента ${\displaystyle a}$, содержит все элементы вида

${\displaystyle ka+na{\text{; }}}$

соответственно, правый главный идеал ${\displaystyle R(a)}$ содержит все элементы вида

${\displaystyle ak+na,}$

а двусторонний главный идеал ${\displaystyle L(a)}$ – все элементы вида

${\displaystyle na+ta+as+\sum _{i}\left[\left(k_{i}a\right)l_{i}+k_{i}^{\prime }\left(a,l_{i}^{\prime }\right)\right],}$

где ${\displaystyle k,t,s,k_{i},k_{i}^{\prime },l_{i},l_{i}^{\prime }}$ – произвольные элементы кольца ${\displaystyle K,}$ a ${\displaystyle na=a+\ldots +a}$ (${\displaystyle n}$ слагаемых). В случае, когда ${\displaystyle K}$ – кольцо с единицей, слагаемое ${\displaystyle na}$ может быть опущено. В частности, для алгебры ${\displaystyle A}$ над полем

${\displaystyle L(a)=aA,\quad R(a)=Aa,\quad J(a)=AaA}$.

В полугруппе ${\displaystyle S}$ левый, правый и двусторонний идеалы, порождённые элементом ${\displaystyle a}$, равны соответственно

${\displaystyle L(a)=S^{1}a,\quad R(a)=aS^{1},\quad J(a)=S^{1}aS^{1},}$

где ${\displaystyle S^{1}}$ – полугруппа, совпадающая с ${\displaystyle S}$, если ${\displaystyle S}$ содержит единицу, и полученная из ${\displaystyle S}$ внешним присоединением единицы – в противном случае.

Главный идеал решётки ${\displaystyle L}$, порождённый элементом ${\displaystyle a}$, совпадает с множеством таких ${\displaystyle x}$, что ${\displaystyle x\leqslant a}$; он обозначается обычно ${\displaystyle a^{\nabla },[a]}$ или ${\displaystyle [0,a]}$, если решётка с нулём. Таким образом,

${\displaystyle a^{\nabla }=aL=\{ax\mid x\in L\}}$.

В решётке конечной длины все идеалы главные.