Дивизориальный идеал

Дивизориа́льный идеа́л, дробный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ целостного коммутативного кольца ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=A:(A:{\mathfrak {a}})}$ (здесь ${\displaystyle A:{\mathfrak {a}}}$ обозначает множество элементов ${\displaystyle x}$ из поля частных кольца ${\displaystyle A}$, для которых ${\displaystyle x{\mathfrak {a}}\subset A}$). Иногда дивизориальный идеал называют дивизором кольца. Для любого дробного идеала ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ идеал ${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {a}}}=A:(A:{\mathfrak {a}})}$ дивизориален. Множество ${\displaystyle D(A)}$ дивизориального кольца ${\displaystyle A}$ является решёточно упорядоченным коммутативным моноидом (полугруппой), если произведением двух дивизориальных идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ считать ${\displaystyle \overbrace {{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}} }$, а положительными (или эффективными) считать целые дивизориальные идеалы ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset A}$. Моноид ${\displaystyle D(A)}$ является группой тогда и только тогда, когда кольцо ${\displaystyle A}$ вполне целозамкнуто; при этом обратным к дивизору ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ будет ${\displaystyle A:{\mathfrak {a}}}$.

Обычно дивизориальный идеал рассматривают в кольце Крулля (например, в нётеровом целозамкнутом кольце); в этом случае простые идеалы высоты ${\displaystyle 1}$ дивизориальны и образуют базис абелевой группы дивизоров ${\displaystyle D(A)}$. Этот результат, по существу, был установлен Э. Артином и Б. Л. Ван дер Bарденом (cм. Ван дер Варден. 1976) в их теории квазиравенства идеалов (идеалы ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ квазиравны, если ${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {a}}}={\tilde {\mathfrak {b}}}}$ и завершил одну из центральных тем алгебры того времени – изучение разложения идеалов.

Главные дробные идеалы, а также обратимые дробные идеалы являются дивизориальными и образуют соответственно подгруппы ${\displaystyle F(A)}$ и ${\displaystyle J(A)}$ в ${\displaystyle D(A)}$. Факторгруппы ${\displaystyle D(A)/F(A)=C(A)}$ и ${\displaystyle J(A)/F(A)=\mathrm {Pic} (A)}$ называются соответственно группой классов дивизоров и группой Пикара кольца ${\displaystyle A}$.