Кольцо многочленов

Кольцо́ многочле́нов, кольцо, элементами которого являются многочлены с коэффициентами из некоторого фиксированного поля ${\displaystyle k}$. Рассматриваются также кольца многочленов над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$, например над кольцом целых чисел. Кольцо многочленов от конечного множества переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ над ${\displaystyle R}$ принято обозначать через ${\displaystyle R\left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]}$. Можно говорить и о кольце многочленов от любого бесконечного множества переменных, считая, что каждый отдельный многочлен зависит лишь от некоторого конечного числа переменных. Кольцо многочленов над кольцом ${\displaystyle R}$ является (коммутативной) свободной алгеброй с единицей над ${\displaystyle R}$; множество переменных служит системой свободных образующих этой алгебры.

Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности. Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом ${\displaystyle R}$ само является факториальным.

Для кольца многочленов над полем ${\displaystyle k}$ от конечного числа переменных имеет место теорема Гильберта о базисе: всякий идеал в ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ может быть порождён (как идеал) конечным числом элементов. Кольцо многочленов от одного переменного ${\displaystyle k[x]}$ является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порождён одним элементом. Более того, ${\displaystyle k[x]}$ является евклидовым кольцом. Это свойство ${\displaystyle k[x]}$ даёт возможность исчерпывающим образом описать конечно порождённые модули над ним и, в частности, привести к каноническому виду линейный оператор в конечномерном векторном пространстве (см. в статье Жорданова матрица). При ${\displaystyle n>1}$ кольцо ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ не является кольцом главных идеалов.

Пусть ${\displaystyle S}$ – некоторая ассоциативно-коммутативная ${\displaystyle k}$ алгебра с единицей, ${\displaystyle a=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}$ – элемент декартовой степени ${\displaystyle S^{n}}$, тогда существует единственный гомоморфизм кольца многочленов от ${\displaystyle n}$ переменных в ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \varphi _{a}:k\left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]\longrightarrow S}$,

при котором ${\displaystyle \varphi _{a}\left(x_{i}\right)=a_{i}}$ для всех ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, а ${\displaystyle \varphi _{a}(1)}$ – единица ${\displaystyle S}$. Образ многочлена ${\displaystyle f\in k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ при этом гомоморфизме называется его значением в точке ${\displaystyle a}$. Точка ${\displaystyle a\in S^{n}}$ называется нулём системы многочленов ${\displaystyle F\subset k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$, если значение каждого многочлена из ${\displaystyle F}$ в этой точке есть ${\displaystyle 0\in S}$. Для кольца многочленов имеет место теорема Гильберта о нулях: пусть ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ – идеал кольца ${\displaystyle R=k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$, ${\displaystyle M}$ – множество нулей идеала ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ в ${\displaystyle {\bar {k}}^{n}}$, где ${\displaystyle {\vec {k}}}$ – алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle g}$ – многочлен из ${\displaystyle R}$, обращающийся в нуль во всех точках из ${\displaystyle M}$, тогда существует натуральное число ${\displaystyle m}$ такое, что ${\displaystyle g^{m}\in {\mathfrak {A}}}$.

Пусть ${\displaystyle A}$ – произвольный модуль над кольцом ${\displaystyle R=k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$. Тогда существуют свободные ${\displaystyle R}$-модули ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}}$ такие, что последовательность гомоморфизмов

${\displaystyle \left\{0\}\leftarrow A\leftarrow X_{0}\leftarrow X_{1}\leftarrow \ldots \leftarrow X_{n}\leftarrow \{0\right\}}$

точна, то есть ядро предыдущего гомоморфизма является образом последующего. Это утверждение – одна из возможных формулировок теоремы Гильберта о сизигиях для кольца многочленов.

Конечно порождённый проективный модуль над кольцом многочленов от конечного числа переменных с коэффициентами из кольца главных идеалов свободен (Cyслин. 1976^[1]; Quillen. 1976^[2]); это есть решение проблемы Сеppa.

Лишь в некоторых частных случаях имеются ответы на следующие вопросы: 1) не порождается ли группа автоморфизмов кольца многочленов элементарными автоморфизмами; 2) не порождается ли ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ произвольным множеством ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ таким, что ${\displaystyle \operatorname {det} \left\|{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right\|}$ – ненулевая константа; 3) если ${\displaystyle S\otimes k[y]}$ изоморфно ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$, не будет ли ${\displaystyle S}$ изоморфно ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n-1}\right]}$?