Идеал (в математике)

Идеа́л (в математике), специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре. Понятие идеала возникло первоначально в теории колец. Название «идеал» ведёт свое происхождение от идеальных чисел.

Для алгебры, кольца или полугруппы ${\displaystyle A}$ идеал ${\displaystyle I}$ есть подалгебра, подкольцо или полугруппа, замкнутая относительно умножения на элементы из ${\displaystyle A}$. При этом идеал ${\displaystyle I}$ называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из ${\displaystyle A}$, т. е.

${\displaystyle AI=I(}$соответственно ${\displaystyle IA=I)}$,

где

${\displaystyle AI=\{ab\sim \mid \sim a\in A,\sim b\sim \in \sim I\},\quad IA=\{ba\sim \mid \sim a\sim \in \sim A,\sim b\sim \in \sim I\}}$.

Идеал, являющийся одновременно левым и правым (т. е. выдерживающий любые умножения на элементы из ${\displaystyle A}$), называется двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают. Любому утверждению о левых идеалах отвечает двойственное утверждение о правых идеалах (далее формулировки будут приводиться только в «левом случае»).

Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные делители в группах. Для всякого гомоморфизма ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ядром ${\displaystyle \mathrm {{\text{Ке}}r} f}$ (т. е. множеством элементов, отображающихся ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle 0}$) служит идеал, и, обратно, всякий идеал – ядро некоторого гомоморфизма. Более того, идеал ${\displaystyle I}$ однозначно определяет конгруэнцию} ${\displaystyle \varkappa }$ в ${\displaystyle A}$ , нулевым классом которой он является, и, следовательно, однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ ${\displaystyle Af}$ гомоморфизма ${\displaystyle f}$, ядром которого он служит: ${\displaystyle Af}$ изоморфно факторкольцу (факторалгебре) ${\displaystyle A/\varkappa }$, обозначаемому также ${\displaystyle A/I}$. Аналогичными свойствами относительно гомоморфизмов обладают идеалы мультиоператорных групп. В мультиоператорной ${\displaystyle \Omega }$-группе ${\displaystyle A}$ идеал определяется как нормальный делитель её аддитивной группы, удовлетворяющий условию: для всякой ${\displaystyle n}$-арной операции ${\displaystyle \omega }$, любых элементов ${\displaystyle b\in I}$ и ${\displaystyle a_{1},\sim a_{2},\sim \ldots ,\sim a_{n}\in A}$ при всяком ${\displaystyle i=1,\sim 2,\sim \ldots ,\sim n}$ должно иметь место включение – ${\displaystyle \left(a_{1},\sim a_{2}\ldots a_{n}\omega \right)+a_{1}\sim \ldots \sim a_{i-1}\left(b+a_{i}\right)a_{i+1}\ldots a_{n}\omega \in I}$ (для колец и алгебр это понятие индуцирует понятие двустороннего идеала).

Двусторонние идеалы полугрупп, напротив, не дают описания всех гомоморфных образов данной полугруппы. Если задан гомоморфизм ${\displaystyle f}$ полугруппы ${\displaystyle A}$ на полугруппу ${\displaystyle B}$, то только в случае, когда ${\displaystyle B}$ – полугруппа с нулём, с гомоморфизмом ${\displaystyle f}$ естественно связан двусторонний идеал ${\displaystyle f^{-1}(0)}$, который, однако, не обязан определять однозначно ${\displaystyle f}$. Тем не менее, если ${\displaystyle I}$ – идеал в ${\displaystyle A}$, то среди факторполугрупп полугруппы ${\displaystyle A}$, имеющих в качестве элемента класс ${\displaystyle I}$, существует максимальная факторполугруппа ${\displaystyle A/I}$ (называемая идеальным фактором). Элементами этой полугруппы будут элементы множества ${\displaystyle A\backslash I}$ и сам идеал ${\displaystyle I}$, который будет нулём в ${\displaystyle A/I}$.

Для любого подмножества ${\displaystyle X\subset A}$ можно определить идеал ${\displaystyle I_{X}}$, порождённый ${\displaystyle X}$, как пересечение всех идеалов, содержащих множество ${\displaystyle X}$. Множество ${\displaystyle X}$ называется базисом идеала ${\displaystyle I_{X}}$. Разные базисы могут порождать один и тот же идеал. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным.

Пересечение, а в случае полугрупп и объединение, левых (двусторонних) идеалов снова будет левым (двусторонним) идеалом. Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение идеалов не обязано быть идеалом. Пусть ${\displaystyle I_{1},\sim I_{2}}$ – левые или двусторонние идеалы в кольце (алгебре) ${\displaystyle A}$. Суммой идеалов ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ называется идеал ${\displaystyle I_{1}+I_{2}=\left\{a+b\mid a\in I_{1},b\in I_{2}\right\}}$, он является минимальным идеалом в ${\displaystyle A}$, содержащим ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$. Относительно операций пересечения и взятия суммы все (левые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решетку. Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеалы или решетку идеалов (см. в статьях Кольцо главных идеалов, Артиново кольцо, Нётерово кольцо).

Идеал мультипликативной полугруппы кольца может и не быть идеалом кольца. Полугруппа ${\displaystyle A}$ является группой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ не содержит (как левых, так и правых) идеалов, отличных от самой ${\displaystyle A}$. Таким образом, обилие идеалов в полугруппе характеризует отчасти степень отличия данной полугруппы от группы.

Для ${\displaystyle k}$-алгебры ${\displaystyle A}$ (алгебры над полем ${\displaystyle k}$) идеал кольца ${\displaystyle A}$ может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры ${\displaystyle A}$. Например, если ${\displaystyle A}$ есть ${\displaystyle k}$-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы ${\displaystyle A}$, а множество всех идеалов алгебры ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством всех подпространств векторного ${\displaystyle k}$-пространства ${\displaystyle A}$. Однако в случае, когда ${\displaystyle A}$ – алгебра с единицей, оба эти понятия идеала совпадают. Поэтому многие результаты одинаково формулируются как для колец, так и для алгебр.

Кольцо, не имеющее двусторонних идеалов, называется простым. Кольцо без собственных односторонних идеалов является телом. Левые идеалы кольца ${\displaystyle A}$ можно определить так же, как подмодули левого ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle A}$. Некоторые свойства колец не меняются при замене левых идеалов на правые. Например, радикал Джекобсона, определённый с помощью левых идеалов, совпадает с радикалом Джекобсона, определённым с помощью правых идеалов. С другой стороны, нётерово слева кольцо может не быть нётеровым справа.

Изучение идеалов коммутативных колец – важная часть коммутативной алгебры. С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство ${\displaystyle {\text{Spec}}A}$, точками которого являются все простые идеалы кольца ${\displaystyle A}$, отличные от ${\displaystyle A}$. При этом существует взаимно однозначное соответствие между всеми идеалами кольца ${\displaystyle A}$ и всеми замкнутыми подмножествами пространства ${\displaystyle {\text{Spec}}A}$.

В коммутативной алгебре встречается понятие идеала поля, точнее, идеал поля относительно кольца. При этом кольцо ${\displaystyle A}$ коммутативно, с единицей и без делителей нуля, а поле ${\displaystyle Q}$ – поле частных кольца ${\displaystyle A}$. Идеалом поля ${\displaystyle Q}$ называется ненулевое подмножество ${\displaystyle I\subset Q}$, являющееся подгруппой аддитивной группы поля ${\displaystyle Q}$, выдерживающее умножения на элементы из ${\displaystyle A}$ (т. е. для любых ${\displaystyle a\in A,\sim b\in I,\sim ab\in I}$) и такое, что существует элемент ${\displaystyle q\in Q}$, для которого ${\displaystyle qI\subset A}$. Идеал называется целым, если он содержится в ${\displaystyle A}$ (и тогда он служит обычным идеалом кольца ${\displaystyle A}$), в противном случае ${\displaystyle I}$ называется дробным идеалом.

Идеалом решётки называется непустое подмножество ${\displaystyle I}$ элементов решётки, удовлетворяющее условиям:

1) если ${\displaystyle a,\sim b\in I}$, то ${\displaystyle a+b\in I}$;
2) если ${\displaystyle c\leqslant a\in I}$, то ${\displaystyle c\in I}$.

Дуальный идеал (или фильтр) решётки определяется двойственным образом ${\displaystyle (a,\sim b\sim \in J\Rightarrow ab\in J,\sim c\geqslant a\in J\Rightarrow c\in J)}$. Идеалы решётки, упорядоченные включением, сами образуют решётку. Максимальный элемент в множестве всех собственных идеалов решётки называется максимальным идеалом. Если ${\displaystyle f}$ – гомоморфизм решётки в частично упорядоченное множество с нулём, то полный прообраз нуля является идеалом. Он называется ядерным идеалом гомоморфизма ${\displaystyle f}$. Идеал ${\displaystyle S}$ peшётки ${\displaystyle L}$ называется стандартным, если для любых ${\displaystyle a,\sim b\in L,\sim s\in S}$ неравенство ${\displaystyle a<b+s}$ влечёт ${\displaystyle a=x+t}$, где ${\displaystyle x\leqslant b}$ и ${\displaystyle t\in S}$. Всякий стандартный идеал является ядерным. Ядерный идеал решётки с относительными дополнениями является стандартным. Идеал ${\displaystyle I}$ называется простым, если из ${\displaystyle ab\in I}$ следует, что ${\displaystyle a\in I}$ или ${\displaystyle b\in I}$. Каждое из следующих условий эквивалентно простоте для идеала ${\displaystyle I}$ решётки ${\displaystyle L}$:

а) дополнение ${\displaystyle L\backslash I}$ является фильтром;
б) ${\displaystyle I}$ – полный прообраз нуля при некотором гомоморфизме решётки ${\displaystyle L}$ на двухэлементную решётку.

В дистрибутивной решётке каждый максимальный идеал прост.

Не вполне согласовано с предыдущим определение идеала в частично упорядоченном множестве. А именно, вместо условия 1) требуется выполнение более сильного условия: для всякого подмножества элементов, лежащих в идеале, их объединение, если оно существует в этом частично упорядоченном множестве, также лежит в ${\displaystyle I}$.

Идеалом объекта ${\displaystyle A}$ категории с нулевыми морфизмами называется подобъект ${\displaystyle (U,\sim \mu )}$ объекта ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle \mu ={\text{ker}}\sim \alpha }$ для некоторого морфизма ${\displaystyle \alpha :A\rightarrow B}$. Этот идеал можно отождествить с совокупностью всех мономорфизмов, являющихся ядрами некоторого морфизма (см. также Нормальный мономорфизм). Двойственным образом определяется коидеал объекта категории. Понятие идеала для ${\displaystyle \Omega }$-групп является частным случаем понятия идеала объекта категории.

Левым идеалом категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ называется класс морфизмов ${\displaystyle \Im }$, содержащий вместе со всяким своим морфизмом ${\displaystyle \varphi }$ все произведения ${\displaystyle \alpha \varphi }$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {K}}}$, если они определены в категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$. Двойственным образом определяется правый идеал категории. Двусторонний идеал – класс морфизмов, являющийся как левым, так и правым идеалом.