Супералгебра

Супера́лгебра, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированная алгебра над полем ${\displaystyle k}$, т. е. суперпространство ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle k}$, снабжённое чётным линейным отображением ${\displaystyle A\otimes A\rightarrow A}$. Супералгебра называется коммутативной (или градуированно-коммутативной), если

${\displaystyle ab=(-1)^{p(a)p(b)}ba,\quad a,b\in A}$.

Определение супералгебры можно обобщить на случай, когда областью скаляров является произвольная ассоциативно-коммутативная супералгебра ${\displaystyle C}$. Примеры ассоциативных cупералгебр над ${\displaystyle C}$: алгебра ${\displaystyle M_{m\mid n}(C)}$ матриц вида ${\displaystyle \left\|{\begin{array}{ll}X&Y\\Z&T\end{array}}\right\|}$, где ${\displaystyle X\in M_{m}(C)}$, ${\displaystyle T\in M_{n}(C)}$, снабжённая естественной ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуировкой; тензорная алгебра ${\displaystyle T(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированного модуля ${\displaystyle M}$ над ${\displaystyle C}$; симметрическая алгебра ${\displaystyle S(M)=T(M)/I}$ модуля ${\displaystyle M}$, где ${\displaystyle I}$ – идеал, порождённый элементами вида

${\displaystyle x\otimes y-(-1)^{p(x)p(y)}y\otimes x}$;

внешняя алгебра ${\displaystyle \Lambda (M)=S(\Pi (M))}$ модуля ${\displaystyle M}$ (последние две супералгебры коммутативны).

Cупералгебра ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ над полем характеристики 0 с умножением ${\displaystyle [,]}$ называется супералгеброй Ли, если ${\displaystyle \forall x,y,z\in {\mathfrak {G}}}$

${\displaystyle [x,y]=(-1)^{p(x)p(y)+1}[y,x],[x,[y,z]]=[[x,y],z]+(-1)^{p(x)p(y)}[y,[x,z]]}$.

Примеры. Любая ассоциативная супералгебра, снабжённая операцией коммутирования

${\displaystyle [x,y]=xy+(-1)^{p(x)p(y)+1}yx}$;

алгебра ${\displaystyle \operatorname {Der} A}$ дифференцирований произвольной супералгебры ${\displaystyle A}$ [т. е. линейных преобразований ${\displaystyle \delta :A\rightarrow A}$ таких, что ${\displaystyle \delta (ab)=(\delta a)b+(-1)^{p(\delta )p(a)}a(\delta b)}$] c операцией коммутирования. По любой супералгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ строится ассоциативная универсальная обёртывающая супералгебра, причём справедливо обобщение теоремы Биркгофа – Витта.

Известна классификация конечномерных простых супералгебр Ли над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (Kac. 1977; ^[1]). Они делятся на супералгебры Ли классического типа (характеризуемые тем, что алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {G}}_{0}}$ редуктивна) и супералгебры Ли картановского типа. Супералгебры Ли классического типа исчерпываются следующими сериями матричных алгебр:

${\displaystyle {\begin{aligned}&sl(m,n)=\left\{\left\|{\begin{array}{ll}X&Y\\Z&T\end{array}}\right\|\in M_{m\mid n}(\mathbb {C} )\mid \operatorname {tr} X=\operatorname {tr} T\right\}\quad (m\neq n);\\&{psl}(n,n)={sl}(n,n)/\{cE\mid c\in \mathbb {C} \};\\&osp\,(m,2n)=\left\{\alpha \in M_{m\mid 2n}(\mathbb {C} )\mid {\beta }(\alpha (x),y)+\beta (x,\alpha (y))=0\right\};\\&\Pi (n)=\left\{\alpha \in M_{n\mid n}(\mathbb {C} )\mid \beta (\alpha (x),y)+\beta (x,\alpha (y))=0\right\}\end{aligned}}}$

для чётной (соответственно нечётной) симметрической невырожденной билинейной формы;

${\displaystyle Q(n)/\{cE\mid c\in \mathbb {C} \}}$,

где ${\displaystyle Q(n)=\left\{\left\|{\begin{array}{ll}X&Y\\Y&{X}\end{array}}\right\|\in M_{n\mid n}(\mathbb {C} )\right\}}$, а также некоторыми исключительными алгебрами. Супералгебра картановского типа – это алгебра ${\displaystyle \operatorname {Der} \Lambda \left(\mathbb {C} ^{n}\right)}$ и её подалгебры, аналогичные простым градуированным алгебрам Ли ${\displaystyle W_{n}}$, ${\displaystyle S_{n}}$, ${\displaystyle H_{n}}$.

Известны также классификация конечномерных простых супералгебр Ли над ${\displaystyle R}$ и описание полупростых супералгебр Ли в терминах простых.

Теория линейных представлений супералгебр Ли существенно сложнее, чем для алгебр Ли, поскольку представления простых супералгебр Ли, как правило, не являются вполне приводимыми, а неприводимые представления разрешимых супералгебр Ли могут не быть одномерными. Известны классификация неприводимых представлений простых конечномерных супералгебр Ли над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в терминах старших весов (см. Лейтес. 1980; Kac. 1977), а также явное описание конечномерных представлений и формула характеров для некоторых серий этих алгебр (Лейтес. 1980).