Структурно упорядоченная группа

Структу́рно упоря́доченная гру́ппа (решёточно упорядоченная группа, ${\displaystyle l}$-группa), группа ${\displaystyle G}$, на множестве элементов которой задано отношение частичного порядка ${\displaystyle \leqslant }$, обладающее свойствами: 1) ${\displaystyle G}$ – решётка относительно ${\displaystyle \leqslant }$, т. е. для любых ${\displaystyle x,y\in G}$ существуют элементы ${\displaystyle x\wedge y,x\vee y}$, такие, что ${\displaystyle x\wedge y\leqslant x,y}$ и ${\displaystyle x\vee y\geqslant x,y}$; для любого ${\displaystyle z\in G,z\leqslant x,y}$ выполнено ${\displaystyle z\leqslant x\wedge y}$, и для любого ${\displaystyle t\in G}$ и ${\displaystyle x,y\leqslant t}$ выполнено ${\displaystyle x\vee y\leqslant t}$; 2) для любых ${\displaystyle a,b,x,y\in G}$ неравенство ${\displaystyle a\leqslant b}$ влечёт за собой ${\displaystyle xay\leqslant xby}$. Эквивалентным образом структурно упорядоченная группа может быть определена как алгебраическая система в сигнатуре ${\displaystyle \left\langle \cdot ,^{-1},e,\vee ,\wedge \right\rangle }$, удовлетворяющая аксиомам: 3)${\displaystyle \langle G,\cdot ,{}^{-1},e\rangle }$ – группа; 4) ${\displaystyle \langle G,\vee ,\wedge \rangle }$ – решётка; 5) ${\displaystyle x(y\vee z)t=xyt\vee xzt}$ и ${\displaystyle x(y\wedge z)t=xyt\wedge xzt}$ для любых ${\displaystyle x,y,z,t\in G}$.

Решётка элементов структурно упорядоченной группы дистрибутивна. Модулем (соответственно положительной и отрицательной частью) элемента ${\displaystyle x}$ называется элемент ${\displaystyle |x|=x\vee x^{-1}}$ (соответственно ${\displaystyle x^{+}=x\vee e}$ и ${\displaystyle x^{-}=x\wedge e}$). В структурно упорядоченной группе верны соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}x=x^{+}x^{-},\quad |x|^{-1}\leqslant x\leqslant |x|,\\|x|=x^{+}\left(x^{-}\right)^{-1},\quad x^{+}\wedge \left(x^{-}\right)^{-1}=e,\\(x\vee y)^{-1}=x^{-1}\wedge y^{-1},\quad (x\wedge y)^{-1}=x^{-1}\vee y^{-1}.\end{aligned}}}$

Элементы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ называются ортогональными, если ${\displaystyle |x|\vee |y|=e}$. Ортогональные элементы перестановочны.

Подмножество ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle l}$-группы ${\displaystyle G}$ называется ${\displaystyle l}$-подгруппой, если ${\displaystyle H}$ – подгруппа и подрешётка в ${\displaystyle G}$; ${\displaystyle l}$-подгруппа ${\displaystyle H}$ называется ${\displaystyle l}$-идеалом структурно упорядоченной группы ${\displaystyle G}$, если она нормальна и выпукла в ${\displaystyle G}$. Множество ${\displaystyle l}$-подгрупп структурно упорядоченной группы образует подрешётку решётки всех её подгрупп. Решётка ${\displaystyle l}$-идеалов структурно упорядоченной группы дистрибутивна. ${\displaystyle l}$-гомоморфизмом ${\displaystyle l}$-группы ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle l}$-группу ${\displaystyle H}$ называется гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ группы ${\displaystyle G}$ в группу ${\displaystyle H}$, такой, что

${\displaystyle \varphi (x\vee y)=\varphi (x)\vee \varphi (y),\quad \varphi (x\wedge y)=\varphi (x)\wedge \varphi (y){\text{. }}}$

Ядрами ${\displaystyle l}$-гомоморфизмов являются в точности ${\displaystyle l}$-идеалы ${\displaystyle l}$-групп. Если ${\displaystyle G}$ есть ${\displaystyle l}$-группа, ${\displaystyle M\subset G}$, то множество ${\displaystyle M^{\perp }=\{x\in G|\quad |x|\wedge |m\mid }$ – для всякого ${\displaystyle m\in M\}}$ является выпуклой ${\displaystyle l}$-подгруппой в ${\displaystyle G}$.

Группа ${\displaystyle A(L)}$ взаимно однозначных сохраняющих порядок отображений линейно упорядоченного множества ${\displaystyle L}$ на себя есть ${\displaystyle l}$-группа [если для ${\displaystyle f,g\in A(L)}$ положить ${\displaystyle f\leqslant g}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(\alpha )\leqslant g(\alpha )}$ для любого ${\displaystyle \alpha \in L}$]. Всякая ${\displaystyle l}$-группа ${\displaystyle l}$-изоморфна ${\displaystyle l}$-подгруппе структурно упорядоченной группы ${\displaystyle A(L)}$ для некоторого подходящего множества ${\displaystyle L}$.

Класс всех структурно упорядоченных групп является многообразием сигнатуры ${\displaystyle \left\langle \cdot ,{}^{-1},e,\wedge ,\vee \right\rangle }$. Важнейшее его подмногообразие – класс структурно упорядоченных групп, аппроксимирующихся линейно упорядоченными группами (класс представимых ${\displaystyle l}$-групп).