Копроизведение

Копроизведе́ние семейства объектов категории, понятие, описывающее на языке морфизмов конструкции прямой суммы модулей или разъединённого объединения (букета) множеств. Пусть ${\displaystyle A_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, – индексированное семейство объектов категории ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$. Объект ${\displaystyle S}$, вместе с морфизмами ${\displaystyle {\ce {\sigma _{i}\colon A_{i}->S}}}$, называется копроизведением семейства ${\displaystyle A_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, если для всякого семейства морфизмов ${\displaystyle {\ce {\alpha _{i}\colon A_{i}->X}}}$, ${\displaystyle i\in I}$, существует такой единственный морфизм ${\displaystyle {\ce {\alpha \colon S->X}}}$, что ${\displaystyle \sigma _{i}\alpha =\alpha _{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$. Морфизмы ${\displaystyle \sigma _{i}}$ называются вложениями копроизведения; копроизведение обозначается ${\displaystyle \Pi _{i\in I}^{*}A_{i}\left(\sigma _{i}\right)}$ или ${\displaystyle \Pi _{i\in I}^{*}{A}_{i}}$, или ${\displaystyle S=A_{1}*\dots *A_{n}}$ в случае ${\displaystyle I=\{1,\ldots ,n\}}$. Морфизм ${\displaystyle \alpha }$, входящий в определение копроизведения, иногда обозначается ${\displaystyle \Pi _{i\in I}^{*}{\alpha _{i}}}$ или ${\displaystyle (*)_{i\in I}\alpha _{i}}$. Копроизведение семейства объектов определено однозначно с точностью до изоморфизма, оно ассоциативно и коммутативно. Понятие копроизведения двойственно понятию произведения.

Копроизведение пустого семейства объектов является левым нулём (инициальным объектом) категории. В абелевой категории копроизведение часто называется прямой суммой семейства объектов ${\displaystyle A_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, и обозначается ${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$ или ${\displaystyle A_{1}{\dot {+}}\dots {\dot {+}}A_{n}}$ в случае ${\displaystyle I=\{1,\ldots ,n\}}$. В большинстве категорий структуризованных множеств копроизведение семейства объектов совпадает со свободным произведением этого семейства и, как правило, требует специального описания. Так, в категории групп копроизведение – это свободное произведение групп, в категориях модулей – прямая сумма модулей и т. д.

В категории с нулевыми морфизмами для копроизведения ${\displaystyle S=\Pi _{i\in I}^{*}A_{i}\left(\sigma _{i}\right)}$ существуют такие однозначно определённые морфизмы ${\displaystyle {\ce {\pi _{i}\colon S->A_{i}}}}$, что ${\displaystyle \sigma _{i}\pi _{i}=1_{A}}$, ${\displaystyle \sigma _{i}\pi _{j}=0}$. В абелевой категории копроизведение и произведение конечного семейства объектов совпадают.