Мультипликативная решётка

Мультипликати́вная решётка, полная решётка ${\displaystyle L=\langle L,\vee ,\wedge \rangle }$ с дополнительной бинарной коммутативной и ассоциативной операцией, называемой умножением (и обозначаемой ${\displaystyle \cdot }$), такой, что наибольший элемент решётки играет роль мультипликативной единицы и

${\displaystyle b\cdot \left(\vee _{\alpha \in J}b_{\alpha }\right)=\vee _{\alpha \in J}b\cdot b_{\alpha }}$

для любых ${\displaystyle b,b_{\alpha }\in L}$ и произвольного множества индексов ${\displaystyle J}$. Теория мультипликативных решёток возникла как результат применения теоретико-структурных методов к изучению решёток идеалов коммутативных колец (^[1]), и поэтому большинство понятий и результатов имеет аналоги (или приложения) в коммутативных кольцах (^[2]).

Пусть ${\displaystyle L}$ – мультипликативная решётка и ${\displaystyle a,b\in L}$, тогда ${\displaystyle a:b=\vee \{x\mid x\in L,x\cdot b\leqslant a\}}$. Элемент ${\displaystyle e\in L}$ называется ${\displaystyle \vee }$-главным (соответственно ${\displaystyle \wedge }$-главным), если ${\displaystyle (a\vee (b\cdot e)):e=(a:e)\vee b}$ [соответственно ${\displaystyle (a\wedge (b:e))\cdot e=(a\cdot e)\wedge b}$] для любых ${\displaystyle a,b\in L}$; ${\displaystyle \vee }$-главный и ${\displaystyle \wedge }$-главный одновременно элемент называется главным. Нётеровой решёткой называется модулярная и удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей мультипликативная решётка, в которой каждый элемент является объединением некоторых главных элементов. Полная решётка ${\displaystyle M}$ называется модулем над мультипликативной решёткой ${\displaystyle L}$, если для любых ${\displaystyle \lambda \in L}$, ${\displaystyle a\in M}$ определено произведение ${\displaystyle \lambda a\in M}$, причём

${\displaystyle \left(\lambda _{1}\lambda _{2}\right)a=\lambda _{1}\left(\lambda _{2}a\right),\quad 1a=a,\quad 0_{L}a=0_{M},}$
${\displaystyle \left(\vee _{\alpha \in I}\lambda _{\alpha }\right)\left(\vee _{\beta \in J}a_{\beta }\right)=\vee _{\alpha ,\beta }\lambda _{\alpha }a_{\beta }}$

(здесь ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{\alpha }\in L,a,a_{\beta }\in M,1}$ – наибольший элемент в ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle 0_{L},0_{M}}$ – нули решёток ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$ соответственно).

Наиболее изученный класс мультипликативных решёток – нётеровы решётки. Здесь можно выделить следующие направления. 1) Вопросы представления нётеровой решётки как решётки идеалов подходящего нётерова кольца [известно, что решётка идеалов любого нётерова кольца – нётерова, однако существуют нётеровы решётки, которые не могут быть даже вложены в решётку идеалов нётерова кольца (^[3])]. 2) Изучение нётеровых модулей над мультипликативной решёткой. 3) Изучение понятий и свойств, которые переносятся на нётеровы решётки из теории идеалов нётеровых колец (понятия простого и примарного элементов, размерности, собственного максимального элемента, полулокальной и локальной решётки). Описаны (^[4]; ^[5]) дистрибутивные регулярные локальные нётеровы мультипликативные решётки. Построена теория локализации и ассоциированных простых элементов для гораздо более широкого, чем нётеровы, класса мультипликативных решёток, включающего в себя решётки идеалов произвольных коммутативных колец.