Ортомодулярная решётка

Ортомодуля́рная решётка, решётка с нулём ${\displaystyle (0)}$ и единицей ${\displaystyle (1)}$, в которой для любого элемента ${\displaystyle a}$ существует ортодополнение ${\displaystyle a^{\perp }}$, т. е. такой элемент, что

${\displaystyle 1)\quad a\vee a^{\perp }=1;\quad a\wedge a^{\perp }=0;\quad a^{\perp \perp }=a}$;

${\displaystyle 2)\quad a\leqslant b\Rightarrow a^{\perp }\geqslant b^{\perp }}$,

и выполняется ортомодулярный закон:

${\displaystyle 3)\quad a\leqslant b\Rightarrow b=a\vee \left(b{\dot {\wedge }}a^{\perp }\right)}$.

В ортомодулярной решётке исследовались в основном дистрибутивность и перспективность, неприводимость, модулярность пар, свойства центра и идеалов, коммутант и разрешимость, приложения к логике квантовой механики (Скорняков. 1961^[1]; Алгебра. Топология. Геометрия. 1970).

Если ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ – произвольная алгебра Неймана, то совокупность ${\displaystyle P({\mathfrak {A}})}$ всех её проекций является полной ортомодулярной решёткой. При этом, если ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ – фактор, то на множестве ${\displaystyle P({\mathfrak {A}})}$ можно определить функцию размерности. В зависимости от множества значений этой функции факторы делятся на типы ${\displaystyle \mathrm {I} _{n},\mathrm {I} _{\infty },\mathrm {II} _{1},\mathrm {II} _{\infty },\mathrm {III} }$ [классификация Муррея – Неймана (Murray. 1936^[2])]. Было установлено, что решётки проекций факторов типа ${\displaystyle \mathrm {I} _{n}}$ и ${\displaystyle \mathrm {II} _{1}}$ являются непрерывными геометриями, т. е. полными дедекиндовыми решётками с дополнениями, удовлетворяющими следующим двум аксиомам непрерывности:

1) ${\displaystyle b\wedge ({\underset {\alpha \in D}{\vee }}a_{\alpha })={\underset {\alpha \in D}{\vee }}\left(b\wedge a_{\alpha }\right)}$ для любого направленного множества индексов ${\displaystyle D}$ и такого множества элементов ${\displaystyle \left\{a_{\alpha },\alpha \in D\right\}}$, что ${\displaystyle \alpha ^{\prime }\leqslant \alpha ^{\prime \prime }}$ влечёт ${\displaystyle a_{\alpha ^{\prime }}\leqslant a_{\alpha ^{\prime \prime }}}$;

2) условие, двойственное к 1).

Возникла задача построения абстрактной теории размерности в рамках такого класса решёток, который включил бы в себя, кроме модулярных решёток проекций факторов типов ${\displaystyle \mathrm {I} _{n}}$ и ${\displaystyle \mathrm {II} _{1}}$, и немодулярные решётки проекций факторов остальных типов. Доказано (Loomis. 1955^[3]; Maeda. 1955^[4]) существование функции размерности на полной ортомодулярной решётке с отношением эквивалентности, удовлетворяющим некоторым дополнительным условиям. Этот класс решёток включает в себя и решётки проекций факторов, и непрерывные геометрии.

Ортомодулярные решётки, являясь естественным обобщением решёток проекций факторов, в то же время составляют существенно более широкий класс, поскольку многие свойства решёток проекций неверны для произвольных ортомодулярных решёток. Подобно тому как непрерывные геометрии координатизируются регулярными кольцами (Скорняков. 1961^[5]), ортомодулярные решётки могут быть координатизированы бэровскими ${\displaystyle *}$-полугруппами. Если полная ортомодулярная решётка модулярна, то она непрерывна (Kaplansky. 1955^[6]). Существует модулярная решётка с ортодополнениями, пополнение сечениями которой не ортомодулярно (в то время как пополнение сечениями полумодулярной решётки с ортодополнениями полумодулярно, и решётка проекций алгебры Неймана полумодулярна).