Объект категории

Объе́кт катего́рии, термин, используемый для обозначения элементов произвольной категории, играющих роль множеств, групп, топологических пространств и т. п. Объект категории – неопределяемое понятие. Каждая категория состоит из элементов двух классов, называющихся классом объектов и классом морфизмов соответственно. Класс объектов категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ обычно обозначается ${\displaystyle \mathrm {Ob} {\mathfrak {K}}}$. Любому объекту ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ однозначно соответствует единичный морфизм ${\displaystyle 1_{A}}$, причём разным объектам отвечают разные единичные морфизмы. Поэтому формально можно определить понятие категории только с помощью морфизмов. Однако термин «объект категории» является удобным языковым средством, которое практически всегда используется. Деление элементов категории на объекты и морфизмы имеет смысл только в пределах фиксированной категории, т. к. объекты одной категории могут быть морфизмами другой и наоборот. Благодаря наличию морфизмов между объектами категории устанавливаются определённые взаимосвязи, что позволяет выделить специальные классы объектов: интегральные объекты, нулевые объекты, малые объекты, проективные объекты, инъективные объекты и т. д.