Пополнение сечениями

Пополне́ние сече́ниями (пополнение Мак-Нейла) частично упорядоченного множества ${\displaystyle M}$, полная решётка ${\displaystyle L}$, получаемая из множества ${\displaystyle M}$ следующим образом. Пусть ${\displaystyle {\tilde {M}}=M}$ (если ${\displaystyle M}$ обладало нулём) или получается внешним присоединением наименьшего элемента ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle M}$ (если ${\displaystyle M}$ не имело нуля). И пусть ${\displaystyle P({\tilde {M}})}$ – упорядоченное отношением включения множество всех непустых подмножеств множества ${\displaystyle {\tilde {M}}}$. Для любого ${\displaystyle X\in P({\tilde {M}})}$ пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}&X^{\Delta }=\{a\in {\tilde {M}}\mid a\geqslant x{\text{ для всех }}x\in X\},\&X^{\nabla }=\{a\in {\tilde {M}}\mid a\leqslant x{\text{ для всех }}x\in X\}.\end{aligned}}}$

Условие ${\displaystyle \varphi (X)=\left(X^{\Delta }\right)^{\nabla }}$ определяет отношение замыкания ${\displaystyle \varphi }$ на множестве ${\displaystyle P({\tilde {M}})}$. Решётка ${\displaystyle L}$ всех ${\displaystyle \varphi }$-замкнутых подмножеств множества ${\displaystyle P({\tilde {M}})}$ является полной. Для любого ${\displaystyle x\in M}$ множество ${\displaystyle \left(x^{\Delta }\right)^{\nabla }}$ является главным идеалом, порождённым элементом ${\displaystyle x}$. Полагая ${\displaystyle i(x)=\left(x^{\Delta }\right)^{\nabla }}$ для всех ${\displaystyle x\in M}$, получают изоморфное вложение ${\displaystyle i}$ множества ${\displaystyle M}$ в полную решётку ${\displaystyle L}$, сохраняющее все точные верхние и нижние грани, существующие в ${\displaystyle M}$. В применении к упорядоченному множеству рациональных чисел описанная конструкция даст пополнение множества рациональных чисел дедекиндовыми сечениями.