Взвешивающая матрица

Традиционно взвешивающая матрица обозначается ${\displaystyle W=(w_{ij}),i,j=1,\ldots ,n}$, где ${\displaystyle n}$ – это число рассматриваемых объектов (например, регионов одной страны), а элементы ${\displaystyle w_{ij}}$ этой матрицы называются весами. Взвешивающая матрица задаётся на основании расстояний (как меры близости) между объектами (например, регионами) и её структура в большей или меньшей степени отражает 1-й закон географии, сформулированный У. Тоблером (1930–2018) : «…всё связано со всем остальным, но близкое связано больше, чем отдалённое» («everything is related to everything else, but near things are more related than distant things») (Tobler. 1970. P. 236), то есть чем ближе объект в соответствии с введённым расстоянием к рассматриваемому, тем больше соответствующий вес этого объекта.

Расстояния между объектами можно задать различными способами. Наиболее распространены расстояния, основанные на географической близости, особенно если в качестве объектов выбраны регионы. Например, можно считать, что расстояние между регионами равно 1, если у них есть общая граница и 0 в противном случае. Можно измерить расстояние между столицами регионов (причём разными способами: например, как евклидово расстояние между столицами регионов или между центрами многоугольников, в которые вписаны соответствующие регионы; как расстояние по автодорогам между столицами регионов; как время в пути между столицами регионов и др.). Однако расстояние между регионами можно измерить и по-другому, основываясь не на географической, а экономической, торговой, политической и другой близости (Демидова. 2021^[1]). Это может быть величина торговых потоков между странами (Beck. 2006^[2]); cоциальная дистанция (Leenders. 2002; Dietz. 2002^[3]); социально-экономическая дистанция, отражающая разницу в этническом или профессиональном составе населения рассматриваемых регионов (Conley. 2002^[4]); институциональная дистанция, отражающая близость институтов (Arbia. 2010); политическая и культурная дистанция (Di Guardo. 2016) и др. Можно определять расстояния между странами, основанное на языковой близости: если в странах совпадает официальный язык, то расстояние между ними равно 1 и 0 в противном случае.

Все регионы ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$, расстояние от которых до региона ${\displaystyle i}$ отлично от 0, называются соседями региона ${\displaystyle i}$ и степень их влияния на регион ${\displaystyle i}$ отражается с помощью элемента взвешивающей матрицы ${\displaystyle w_{ij}}$.

Для создания первоначальной взвешивающей матрицы рассчитываются расстояния между каждой парой различных регионов: ${\displaystyle w_{ij}^{0}=d_{ij},\ i,j=1,\ldots ,n,i\neq j}$ на основе выбранной метрики. Очевидно, что данные элементы неотрицательны. Диагональные элементы взвешивающей матрицы равны нулю, поскольку эта матрица отражает влияние всех остальных регионов на рассматриваемый, но не влияние региона на самого себя.

Затем элементы взвешивающей матрицы нормируются по строке. Таким образом, взвешивающая матрица в общем случае обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle w_{ii}=0}$;
• ${\displaystyle w_{ij}\geq 0}$ – условие неотрицательности;
• ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{ij}=1}$.

В случае нормированной по строкам взвешивающей матрицы удобно давать интерпретацию пространственному лагу ${\displaystyle WY}$– это средневзвешенное значение показателя ${\displaystyle Y}$ в соседних регионах.

В некоторых случаях элементы матрицы ${\displaystyle W}$ нормируются по столбцам (в этом случае при интерпретации результатов акцент делается на влиянии ${\displaystyle i}$-го региона на все остальные) или на максимальное собственное значение симметричной ненормированной матрицы ${\displaystyle W^{0}=(w_{ij}^{0})}$ (Elhorst. 2014.^[5] P. 12–13).

Наиболее распространёнными являются:

• матрица соседства (${\displaystyle w_{ij}=0}$, если регион ${\displaystyle j}$ не имеет общей границы с регионом ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle w_{ij}={\frac {1}{n_{i}}}}$, если регион ${\displaystyle j}$ имеет общую границу с регионом ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle n_{i}}$ – общее количество регионов, граничащих с регионом ${\displaystyle i}$);
• матрица ${\displaystyle k}$ ближайших соседей [${\displaystyle w_{ij}={\frac {1}{k}}}$, если регион ${\displaystyle j}$ входит в число ближайших (по выбранному расстоянию) ${\displaystyle k}$ соседей региона ${\displaystyle i}$, и 0 иначе];
• матрица обратных расстояний [${\displaystyle w_{ij}={\frac {\frac {1}{d_{ij}}}{\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{d_{ij}}}}}}$ где ${\displaystyle d_{ij}}$ – расстояние (обычно географическое) между регионами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$].

Иногда веса для регионов, расстояние до которых больше некоторого заданного порогового значения ${\displaystyle d}$, изначально полагают равными нулю.

Наиболее общий вид весов, отражающих меру географической близости регионов (Cliff. 1973^[6]): ${\displaystyle w_{ij}\sim {\frac {b_{ij}^{\alpha }}{d_{ij}^{\beta }}},\ \alpha ,\beta }$ – дополнительные параметры, ${\displaystyle b_{ij}}$ – отношение протяжённости общей границы регионов ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ к периметру региона ${\displaystyle i}$.

По поводу важности выбора взвешивающей матрицы в пространственно-эконометрических моделях в научных кругах идёт оживлённая дискуссия. Некоторые исследователи критиковали пространственно-эконометрические модели за их чувствительность к выбору взвешивающей матрицы (Stakhovych. 2009; Plümper. 2010), другие называли неустойчивость оценок и выводов моделей к выбору взвешивающей матрицы «самым большим мифом в пространственной эконометрике» (LeSage. 2010). В качестве возможных путей выбора взвешивающей матрицы предлагаются следующие:

• использование критерия Акаике при сравнении моделей с различными взвешивающими матрицами;
• использование линейной комбинации нескольких взвешивающих матриц (Pace. 2002; Hazir. 2018^[7]; Debarsy. 2022^[8]; LeSage. 2020);
• оценка элементов взвешивающей матрицы (особенно содержащей много нулей) с использованием лассо-регрессии (Ahrens. 2015).

Взвешивающая матрица обычно считается экзогенной и не меняющейся во времени. Однако иногда это условие нарушается (например, когда веса пропорциональны некоторым экономическим показателям – валовому региональному продукту и др.), что часто позволяет лучше отразить экономические процессы, но существенно усложняет технику оценивания моделей, в которые входят соответствующие матрицы (Kelejian. 2017^[9]).