Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора, степенной ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k},}$ (1)

где числовая функция ${\displaystyle f}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ и имеет в этой точке производные ${\displaystyle f^{(k)}}$ всех порядков. При определённых условиях ряд (1) сходится к ${\displaystyle f(x)}$ в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$. Частичные суммы ряда (1) называются многочленами Тейлора. При ${\displaystyle x_{0}=0}$ разложение функции в ряду Тейлора принимает вид

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}x^{k}}$

(этот ряд иногда называют рядом Маклорена), в частности,

${\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+\ldots +{\frac {x^{k}}{k!}}+\ldots ,}$ (2)

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+\ldots ,}$ (3)

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\ldots ,}$ (4)

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +(-1)^{k-1}{\frac {x^{k}}{k}}+\ldots \,.}$ (5)

Ряды в правых частях (2)–(4) сходятся к функциям в их левых частях при любых значениях ${\displaystyle x}$, ряд в правой части (5) – при ${\displaystyle -1<x\leqslant 1}$.

Если ${\displaystyle x_{0}}$ – комплексное число, функция ${\displaystyle f}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ в множестве комплексных чисел и дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то существует окрестность этой точки, где функция ${\displaystyle f}$ является суммой своего ряда Тейлора (1). Если же ${\displaystyle x_{0}}$ – действительное число, функция ${\displaystyle f}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ в множестве действительных чисел и имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$ производные всех порядков, то функция ${\displaystyle f}$ может ни в какой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ не быть суммой своего ряда Тейлора. Например, функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{при }}x\neq 0\\0&{\text{при }}x=0\end{cases}}}$ (6)

бесконечно дифференцируема на всей действительной оси, не равна тождественно нулю ни в какой окрестности нуля, а все коэффициенты её ряда Тейлора в нуле равны нулю.

Если функция раскладывается в некоторой окрестности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единствен и является её рядом Тейлора в этой точке. Однако один и тот же степенной ряд может являться рядом Тейлора для разных действительных функций. Так, степенной ряд, у которого все коэффициенты равны нулю, является рядом Тейлора как для функции, тождественно равной нулю на всей действительной оси, так и рядом Тейлора для функции (6) в точке ${\displaystyle x_{0}=0}$.

Достаточным условием сходимости ряда Тейлора (1) к действительной функции ${\displaystyle f}$ на интервале ${\displaystyle (x_{0}-h,x_{0}+h)}$ является ограниченность в совокупности всех её производных на этом интервале.

Ряд (1) опубликовал Б. Тейлор (1715), ряд, сводящийся к (1) простым преобразованием, – И. Бернулли (1694).