Приближение функций комплексного переменного

Приближе́ние фу́нкций компле́ксного переме́нного, раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций многочленами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным многочленам и многочленам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т. п.). Теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного ${\displaystyle z}$, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах этой области посредством многочленов от ${\displaystyle z}$. Общая задача о возможности равномерного приближения многочленами ставится так: для каких компактов ${\displaystyle K}$ в комплексной плоскости любая функция ${\displaystyle f}$, непрерывная на ${\displaystyle K}$ и голоморфная на множестве внутренних точек ${\displaystyle K}$, допускает равномерную аппроксимацию на ${\displaystyle K}$ (с любой степенью точности) посредством многочленов от ${\displaystyle z}$. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта ${\displaystyle K}$. Эта теорема в частных случаях доказана М. А. Лаврентьевым (1934) и М. В. Келдышем (1945), в общем случае – С. Н. Мергеляном (1951).

Пусть ${\displaystyle E_{n}=E_{n}(f,K)}$ – наилучшее приближение функций ${\displaystyle f(z)}$ на компакте ${\displaystyle K}$ посредством многочленов от ${\displaystyle z}$ степени не выше ${\displaystyle n}$. Если ${\displaystyle K}$ – компакт со связным дополнением и функция ${\displaystyle f}$ голоморфна на ${\displaystyle K}$, то последовательность ${\displaystyle \left\{E_{n}\right\}}$ стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: ${\displaystyle E_{n}<q^{n}}$, ${\displaystyle 0<q=q(f)<1}$, ${\displaystyle n>N}$. Если ${\displaystyle f}$ непрерывна на ${\displaystyle K}$ и голоморфна во внутренних точках ${\displaystyle K}$, то скорость её аппроксимации многочленами зависит как от свойств ${\displaystyle f}$ на границе ${\displaystyle K}$ (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы ${\displaystyle K}$.

Другие направления исследований в теории приближений функций комплексного переменного: равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения многочленами, приближения многочленами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.