Комплексный анализ
Компле́ксный ана́лиз, раздел математики, в котором изучаются аналитические функции комплексного переменного, их обобщения и связанные с ними объекты (конформные и голоморфные отображения, римановы поверхности и комплексные многообразия, гармонические функции, интегральные представления и преобразования). Основателем комплексного анализа считается Л. Эйлер, который в 18 в. использовал комплексные числа, комплексную плоскость и, по существу, применял комплексный анализ для решения задач анализа и механики. В 19 в. в трудах О. Коши, Б. Римана, К. Вейерштрасса и других математиков комплексный анализ получил строгое математическое обоснование и расширил круг своих задач и применений. В 20 в. методы комплексного анализа широко использовались, во многом благодаря работам российских математиков, в аэро- и гидродинамике, теории упругости, электростатике, математической и теоретической физике.
Универсальность комплексного анализа, позволяющая использовать его методы практически во всех областях математики и механики, стимулировала появление и развитие новых математических дисциплин. Так, исследования римановых поверхностей (естественных областей определения аналитических функций) породили современную алгебраическую геометрию и дифференциальную топологию, фундаментальные проблемы многомерного комплексного анализа привели к созданию современной алгебраической топологии (теория пучков и когомологий), изучение голоморфных кривых положило начало симплектической топологии, динамика римановых поверхностей стала основой современных направлений в теоретической физике.
В развитии современного комплексного анализа выделяются две основные ветви: классический комплексный анализ (теория функций комплексного переменного) преимущественно с аналитическими методами исследований и многомерный комплексный анализ, в котором существенную роль играют геометрические методы.
Литература
- Стоилов С. Теория функций комплексного переменного : в 2 т. / пер. с рум. И. Берштейна. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1962. – 2 т.
- Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. – Москва : Наука, 1964.
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – 2-е изд. – Москва : Наука, 1966.
- Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. – 2-е изд. – Москва : Наука, 1967–1968. – 2 т.
- Ганнинг Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, Х. Росси ; пер. с англ. И. Я. Вахутинского, В. Я. Лина. – Москва : Мир, 1969.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебное пособие для студентов вузов. – 14-е изд., стер. – Москва : Высшая школа, 1999. – (Высшая математика).
- Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – 6-е изд., стер. – Москва : Лань, 2002.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ : учебник для студентов. – 4-е изд., стер. – Санкт-Петербург : Лань, 2004. – 2 т. – (Классический университетский учебник).