Локально компактное пространство

Лока́льно компа́ктное простра́нство, топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью с компактным замыканием. Более подробно: топологическое пространство ${\displaystyle X}$ локально компактно, если для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ найдётся такое открытое множество ${\displaystyle U}$, что ${\displaystyle {\overline {U}}}$ компактно (где ${\displaystyle {\overline {U}}}$ обозначает замыкание множества ${\displaystyle U}$).

Всякое компактное пространство локально компактно. Бесконечное дискретное пространство ${\displaystyle D({\mathfrak {m}})}$, вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$, евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ являются примерами локально компактных некомпактных пространств. Подпространство ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ вещественной прямой, состоящее из рациональных чисел, не является локально компактным (в нём даже не существует непустых открытых множеств с компактными замыканиями). Бесконечномерное банахово пространство (в топологии, порождённой нормой) не является локально компактным.

Замкнутое подпространство локально компактного пространства локально компактно. Топологическое произведение конечного семейства локально компактных пространств локально компактно; топологическое произведение ${\displaystyle \prod \limits _{s\in S}X_{s}}$ произвольного семейства ${\displaystyle \{X_{s}\}_{s\in S}}$ непустых топологических пространств локально компактно в том и только том случае, если каждое из этих пространств локально компактно, и все они за исключением, быть может, конечного числа, компактны (т. е. существует такое конечное множество ${\displaystyle S_{0}\subset S}$, что ${\displaystyle X_{s}}$ компактно при всех ${\displaystyle s\in S\setminus S_{0}}$).

Наиболее важными и интересными свойствами обладают хаусдорфовы локально компактные пространства, поэтому многие авторы включают в определение локальной компактности требование хаусдорфовости.

Основные свойства хаусдорфовых локально компактных пространств следующие.

1. Хаусдорфово пространство локально компактно в том и только том случае, если оно гомеоморфно открытому подпространству некоторого хаусдорфова компактного пространства.

2. Хаусдорфово локально компактное пространство является тихоновским.

3. Локально компактное подпространство ${\displaystyle L}$ хаусдорфова пространства ${\displaystyle X}$ локально замкнуто в нём (в частности, если ${\displaystyle L}$ всюду плотно в ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle L}$ открыто); локально замкнутое (в частности, открытое или замкнутое) подпространство локально компактного хаусдорфова пространства локально компактно.

4. Если ${\displaystyle A}$ – компактное подмножество хаусдорфова локально компактного пространства ${\displaystyle X}$, то для каждого открытого множества ${\displaystyle V}$, содержащего множество ${\displaystyle A}$, найдётся такое открытое ${\displaystyle U}$, что ${\displaystyle A\subset U\subset {\overline {U}}\subset V}$ и множество ${\displaystyle {\overline {U}}}$ компактно (это свойство обычно выражают фразой: «компактное подмножество хаусдорфова локально компактного пространства имеет фундаментальную систему компактных окрестностей»). Более того, существует непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$ такая, что ${\displaystyle f(x)=0}$ при ${\displaystyle x\in A}$, ${\displaystyle f(x)=1}$ при ${\displaystyle x\in X\setminus V}$ и множество ${\displaystyle f^{-1}([0,a])}$ является компактным при всех ${\displaystyle 0\leqslant a<1}$.

Иногда локально компактные пространства определяют с помощью более сильного требования: топологическое пространство ${\displaystyle X}$ локально компактно, если для любых точки ${\displaystyle x\in X}$ и содержащего её открытого множества ${\displaystyle V}$ найдётся такое открытое множество ${\displaystyle U}$, что ${\displaystyle x\in U\subset {\overline {U}}\subset V}$ и ${\displaystyle {\overline {U}}}$ компактно (другими словами, в определение локальной компактности включается регулярность пространства). Этому требованию удовлетворяют хаусдорфовы локально компактные пространства; для так определённых локально компактных пространств можно указать свойства, аналогичные свойствам 2–4 (с некоторыми уточнениями).

Понятие хаусдорфова локально компактного пространства было введено П. С. Александровым (Alexandroff. 1923).