Замыкание множества

Отображение, ставящее в соответствие каждому множеству ${\displaystyle A\subset X}$ его замыкание ${\displaystyle {\overline {A}}}$, часто называют оператором замыкания (более точно, оператором топологического замыкания) на ${\displaystyle X}$. Оператор замыкания обладает следующими свойствами:
(CO1) ${\displaystyle {\overline {\varnothing }}=\varnothing }$ (сохранение пустого множества);
(CO2) ${\displaystyle A\subset {\overline {A}}}$ (экстенсивность);
(CO3) ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ (аддитивность);
(CO4) ${\displaystyle {\overline {({\overline {A}})}}={\overline {A}}}$ (идемпотентность).

Эти свойства оператора замыкания могут быть положены в основу определения топологического пространства в качестве аксиом (см. в статье Топологическое пространство); такой подход к определению топологического пространства впервые предложил К. Куратовский (^[1]), в честь которого свойства (CO1)–(CO4) называются аксиомами Куратовского. В оригинальной работе Куратовского они приведены в иной последовательности, а именно: (СO3), (CO2), (CO1), (CO4); последовательность аксиом замыкания, принятая в настоящей статье, стала общепринятой после выхода монографии Р. Энгелькинга (^[2]).

Четыре аксиомы Куратовского (CO1)–(CO4) эквивалентны единственной аксиоме

${\displaystyle A\cup {\overline {A}}\cup {\overline {\overline {B}}}={\overline {A\cup B}}\setminus {\overline {\varnothing }}}$ (1).

[Данное утверждение следует понимать в том смысле, что некоторый оператор ${\displaystyle {\overline {}}}$, ставящий в соответствие каждому множеству ${\displaystyle A\subset X}$ множество ${\displaystyle {\overline {A}}\subset X}$, обладает свойствами (CO1)–(CO4) тогда и только тогда, когда он обладает свойством (1).]

Из свойства аддитивности (CO3) следует монотонность оператора замыкания:

${\displaystyle {\text{если }}A\subset B,{\text{ то }}{\overline {A}}\subset {\overline {B}}}$,

а также свойства:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A}}\setminus {\overline {B}}={\overline {A\setminus B}}\setminus {\overline {B}}\subset {\overline {A\setminus B}},\\{\overline {\bigcup _{s\in S}A_{s}}}\supset \bigcup _{s\in S}{\overline {A_{s}}},\\{\overline {\bigcap _{s\in S}A_{s}}}\subset \bigcap _{s\in S}{\overline {A_{s}}}.\end{aligned}}}$

Включения (2)–(4) могут быть строгими, причём (4) – строгим даже в случае конечного множества индексов ${\displaystyle S}$.

Свойство (3) может быть уточнено следующим образом:

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{s\in S}A_{s}}}=\bigcup _{s\in S}{\overline {A_{s}}}\,\cup \bigcap _{T\in \Omega _{0}(S)}{\Bigl (}\,\bigcup _{s\in S\setminus T}A_{s}{\Bigr )}}$ (5),

где ${\displaystyle \Omega _{0}(S)}$ обозначает семейство всех конечных подмножеств множества ${\displaystyle S}$. Частным случаем равенства (5) является следующая формула замыкания объединения бесконечной последовательности множеств:

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{\overline {A_{i}}}\,\cup \,\bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{j=0}^{\infty }A_{i+j}}}}$.

Применяя к заданному подмножеству топологического пространства операции замыкания и дополнения (в любом порядке), можно получить не более 14 различных множеств (задача Куратовского).

В метрических пространствах (и, более общо, в пространствах с первой аксиомой счётности) замыкание множества ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством пределов всевозможных последовательностей точек из ${\displaystyle A}$ (необязательно различных); иногда в учебной литературе в качестве определения замыкания множества в метрическом пространстве принимается именно указанное свойство. В неметризуемых пространствах оно, вообще говоря, не имеет места: может случиться так, что ${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$, но никакая последовательность точек множества ${\displaystyle A}$ не сходится к ${\displaystyle x}$ (ср. сходимость по Муру – Смиту и понятие пространства Фреше – Урысона).

Если ${\displaystyle (X,\rho )}$ – метрическое пространство, то для каждого ${\displaystyle A\subset X}$ имеют место равенства

${\displaystyle {\overline {A}}=\{x\in X:\rho (x,A)=0\}\quad {\text{и}}\quad \rho (x,A)=\rho (x,{\overline {A}})}$,

где

${\displaystyle \rho (x,M)={\begin{cases}\inf\{\rho (x,y):y\in M\},&{\text{ если }}M\neq \varnothing ,\\+\infty ,&{\text{ если }}M=\varnothing \end{cases}}}$

– расстояние от точки ${\displaystyle x}$ до множества ${\displaystyle M\subset X}$.