Локально замкнутое множество

Лока́льно за́мкнутое мно́жество, подмножество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$, каждая точка ${\displaystyle x\in A}$ которого обладает такой окрестностью ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle X}$, что множество ${\displaystyle A\cap U}$ замкнуто в подпространстве ${\displaystyle U}$ пространства ${\displaystyle X}$; в этом случае ${\displaystyle A}$ (как подпространство пространства ${\displaystyle X}$) также называется локально замкнутым подпространством пространства ${\displaystyle X}$.

Для подмножества ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ следующие условия равносильны:

(i) ${\displaystyle A}$ локально замкнуто в ${\displaystyle X}$;

(ii) ${\displaystyle A}$ является открытым подмножеством своего замыкания ${\displaystyle {\overline {A}}}$ в ${\displaystyle X}$;

(iii) множество ${\displaystyle {\overline {A}}\setminus A}$ (совпадающее с множеством ${\displaystyle A^{\mathrm {d} }\setminus A}$, где ${\displaystyle A^{\mathrm {d} }}$ – производное множество) замкнуто в ${\displaystyle X}$;

(iv) ${\displaystyle A}$ можно представить в виде ${\displaystyle F\cap V}$, где ${\displaystyle F}$ – замкнутое, а ${\displaystyle V}$ – открытое множество в ${\displaystyle X}$ (т. е. ${\displaystyle A}$ является пересечением замкнутого и открытого подмножеств пространства ${\displaystyle X}$);

(v) ${\displaystyle A}$ является разностью двух замкнутых подмножеств пространства ${\displaystyle X}$;

(vi) ${\displaystyle A}$ является разностью двух открытых подмножеств пространства ${\displaystyle X}$;

(vii) ${\displaystyle A}$ открыто в некотором замкнутом подпространстве пространства ${\displaystyle X}$;

(viii) ${\displaystyle A}$ замкнуто в некотором открытом подпространстве пространства ${\displaystyle X}$.

Если ${\displaystyle A}$ локально замкнуто в ${\displaystyle X}$, то множество

${\displaystyle X\setminus ({\overline {A}}\setminus A)=(X\setminus {\overline {A}})\cup A}$

является наибольшим среди открытых в ${\displaystyle X}$ множеств ${\displaystyle V}$, таких, что ${\displaystyle A\subset V}$ и ${\displaystyle A}$ замкнуто в ${\displaystyle V}$.

Если ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ – непрерывное отображение, то прообраз ${\displaystyle f^{-1}(L)}$ любого локально замкнутого в ${\displaystyle Y}$ множества ${\displaystyle L}$ локально замкнут в ${\displaystyle X}$.

Все замкнутые и все открытые в ${\displaystyle X}$ множества локально замкнуты в ${\displaystyle X}$; если множество ${\displaystyle A}$ всюду плотно и локально замкнуто в ${\displaystyle X}$, то оно открыто.

Если множество ${\displaystyle B}$ локально замкнуто в ${\displaystyle X}$, а множество ${\displaystyle A}$ локально замкнуто в ${\displaystyle B}$ (где ${\displaystyle B}$ рассматривается как топологическое подпространство пространства ${\displaystyle X}$), то ${\displaystyle A}$ локально замкнуто в ${\displaystyle X}$, т. е. отношение «быть локально замкнутым подпространством» транзитивно. Пересечение конечного семейства локально замкнутых множеств локально замкнуто; объединение двух локально замкнутых множеств и дополнение локально замкнутого множества может и не быть локально замкнутым. Наименьшая булева алгебра подмножеств пространства ${\displaystyle X}$, содержащая семейство всех его открытых (или, эквивалентно, замкнутых) подмножеств, совпадает с семейством всевозможных конечных объединений локально замкнутых подмножеств пространства ${\displaystyle X}$.

Если пространство ${\displaystyle X}$ регулярно, то условие локальной замкнутости множества ${\displaystyle A\subset X}$ эквивалентно следующему: для каждой точки ${\displaystyle x\in A}$ существует такая её окрестность ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle X}$, что множество ${\displaystyle A\cap {\overline {U}}}$ замкнуто в ${\displaystyle X}$.

Подмножество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется локально замкнутым в точке ${\displaystyle x\in A}$, если существует такая окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$, что множество ${\displaystyle A\cap U}$ замкнуто в подпространстве ${\displaystyle U}$. Таким образом, множество локально замкнуто тогда и только тогда, когда оно локально замкнуто в каждой своей точке. Для произвольного ${\displaystyle A\subset X}$ множество точек ${\displaystyle x\in X}$, в которых множество ${\displaystyle A}$ не является локально замкнутым в ${\displaystyle X}$, совпадает с множеством

${\displaystyle A\cap {\overline {{\overline {A}}\setminus A}}}$,

называемым вычетом (в смысле Ф. Хаусдорфа) множества ${\displaystyle A}$.

Впервые систематическое исследование подмножеств евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, представимых в виде разности двух замкнутых множеств, было осуществлено К. Куратовским и В. Серпиньским (Kuratowski. 1921^[1]). Они установили (по существу, для случая не только евклидова, но и произвольного топологического пространства) эквивалентность условий (v) и (iii), указанных выше, а также доказали, что каждое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, представимое в виде разности двух замкнутых множеств, гомеоморфно некоторому замкнутому множеству в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. Оригинальное рассуждение Куратовского и Серпиньского легко может быть модифицировано для доказательства более общего утверждения: каждое локально замкнутое подмножество совершенно нормального (в частности, метризуемого) пространства ${\displaystyle X}$ гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству пространства ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$.

Термин «локально замкнутое множество» принадлежит К. Куратовскому (Kuratowski. 1933^[2]). Однако первоначальное определение этого понятия, данное им в соответствии с его концепцией «локализации свойств» подмножества топологического пространства в точке, состояло в следующем: подмножество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ локально замкнуто в точке ${\displaystyle x\in A}$, если существует такая (необязательно открытая) окрестность ${\displaystyle G}$ точки ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$, что множество ${\displaystyle A\cap G}$ замкнуто в ${\displaystyle X}$. Это определение эквивалентно современному (принятому в настоящей статье) лишь в случае регулярности пространства ${\displaystyle X}$.

Современное определение локально замкнутого множества появилось в 3-м издании «Общей топологии» Н. Бурбаки (Bourbaki. 1961^[3]; русский перевод: Бурбаки. 1968.^[4] §3, п. 3), там же была отмечена эквивалентность свойств (i), (ii), (iv). Определение Бурбаки было принято К. Куратовским в новом расширенном издании его «Топологии» (Kuratowski. 1966^[5]; русский перевод: Куратовский. 1966.^[6] §7, V).