Тихоновское пространство

Ти́хоновское простра́нство, $T_{1}$ -пространство, в котором точки и замкнутые множества разделяются непрерывными вещественными функциями. Более подробно, топологическое пространство $X$ называется тихоновским, если оно является $T_{1}$ -пространством (т. е. все его одноточечные подмножества замкнуты) и вполне регулярным (т. е. для любой точки $x\in X$ и любого замкнутого множества $F\subset X$ такого, что $x\notin F$ , найдётся непрерывная функция $f\colon X\to [0,1]$ , обладающая свойствами: $f(x)=0$ и $f(y)=1$ для всех $y\in F$ ). В определении тихоновского пространства требование быть $T_{1}$ -пространством может быть ослаблено до требования быть $T_{0}$ -пространством (т. е. тихоновские пространства могут быть охарактеризованы как вполне регулярные $T_{0}$ -пространства; см. Аксиомы отделимости).

Каждое тихоновское пространство хаусдорфово и регулярно. В силу леммы Урысона, всякое нормальное $T_{1}$ -пространство является тихоновским; обратное неверно: плоскость Немыцкого служит примером тихоновского ненормального пространства.

Пусть ${\mathfrak {m}}$ – бесконечное кардинальное число. Для топологического пространства $X$ следующие условия эквивалентны:

(i) $X$ – тихоновское пространство веса $\leqslant {\mathfrak {m}}$ ;
(ii) $X$ гомеоморфно подпространству тихоновского куба ${\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}$ ;
(iii) $X$ гомеоморфно подпространству некоторого хаусдорфова компактного пространства веса $\leqslant {\mathfrak {m}}$ .

Таким образом, тихоновские пространства могут быть охарактеризованы (с точностью до гомеоморфизма) как подпространства всевозможных хаусдорфовых компактных пространств.

Подпространство тихоновского пространства является тихоновским; топологическое произведение тихоновских пространств является тихоновским пространством; класс тихоновских пространств инвариантен относительно открыто-замкнутых отображений (т. е. если пространство $X$ – тихоновское, $f\colon X\to Y$ – непрерывное сюръективное отображение, являющееся одновременно открытым и замкнутым, то пространство $Y$ также тихоновское).

Для каждого топологического пространства $X$ существуют тихоновское пространство $\tau (X)$ и непрерывное сюръективное отображение $\Phi _{X}\colon X\to \tau (X)$ , обладающие свойством: каковы бы ни были тихоновское пространство $Y$ и непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ , существует единственное непрерывное отображение $h\colon \tau (X)\to Y$ такое, что $h\circ \Phi _{X}=f$ . Пространство $\tau (X)$ определено этим условием однозначно с точностью до гомеоморфизма. Соответствие $X\mapsto \tau (X)$ (т. н. тихоновская рефлексия пространства $X$ ) продолжается до функтора из категории $\mathbf {Top}$ топологических пространств в категорию $\mathbf {Tych}$ тихоновских пространств (и непрерывных отображений); этот функтор называется тихоновским функтором. Пространство $X$ является тихоновским тогда и только тогда, когда отображение $\Phi _{X}\colon X\to \tau (X)$ – гомеоморфизм (в этом случае пространства $X$ и $\tau (X)$ обычно отождествляются, т. е. считается, что $X=\tau (X)$ , а $\Phi _{X}$ – тождественное отображение). Функтор $\tau$ не коммутирует с операцией произведения пространств (т. е. соотношение $\tau (X\times Y)=\tau (X)\times \tau (Y)$ в общем случае может не выполняться); вместе с тем имеет место следующее утверждение (Oka. 1978): тихоновское пространство $X$ локально компактно тогда и только тогда, когда $\tau (X\times Y)=X\times \tau (Y)$ для любого топологического пространства $Y$ .

Тихоновские пространства названы в честь А. Н. Тихонова, который назвал эти пространства «вполне регулярными» (Tychonoff. 1930^[1]; рус. пер.: Тихонов. 2009^[2]) и установил эквивалентность приведённых выше условий (i)–(iii); само свойство вполне регулярности в классе $T_{1}$ -пространств (без введения специального термина) было отмечено ранее П. С. Урысоном (Urysohn. 1925^[3]; рус. пер.: Урысон. 1951^[4]). Термин «тихоновское пространство» предложен Дж. Тьюки (Tukey. 1940^[5]. P. 84). Тихоновский функтор введён Моритой Киити (Morita. 1975^[6]); обзор важнейших результатов, связанных с этим функтором, см. в статье (Ishii. 1989^[7]).

↑ Tychonoff A. Über die topologische Erweiterung von Räumen / A. Tychonoff // Mathematische Annalen. – 1930. – Bd. 102. – S. 544–561.
↑ Тихонов А. Н. Собрание научных трудов = Collection of scientific works. В 10 т.. Т. 1 / А. Н. Тихонов. – Москва : Наука, 2009. – (Классики науки).
↑ Urysohn P. Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen / P. Urysohn // Mathematische Annalen. – 1925. – Bd. 94. – S. 262–295.
↑ Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. Т. 1 / П. С. Урысон. – Москва ; Ленинград : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951.
↑ Tukey J. W. Convergence and Uniformity in Topology / John W. Tukey. – Princeton : Princeton University Press, 1940. – (Annals of Mathematics Studies ; 2).
↑ Morita K. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces / Kiiti Morita // Fundamenta Mathematicae. – 1975. – Vol. 87, № 1. – P. 31–52.
↑ Topics in general topology / ed. by Kiiti Morita, Jun-iti Nagata. – Amsterdam [et al.] : North-Holland Pubishing Company, 1989. – (North-Holland mathematical library ; vol. 41).

Urysohn P. Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen // Mathematische Annalen. – 1925. – Bd. 94. – S. 262–295.
Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. – Москва ; Ленинград : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. – Т. 1.
Tychonoff A. Über die topologische Erweiterung von Räumen // Mathematische Annalen. – 1930. – Bd. 102. – S. 544–561.
Тихонов А. Н. Собрание научных трудов. В 10 т. – Москва : Наука, 2009. – Т. 1.
Tukey J. W. Convergence and Uniformity in Topology. – Princeton : Princeton University Press, 1940. – (Annals of Mathematics Studies ; 2).
Morita K. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces // Fundamenta Mathematicae. – 1975. – Vol. 87, № 1. – P. 31–52.
Oka S. Tychonoff functor and product spaces // Proceedings of the Japan Academy. Series A. Mathematical Sciences. – 1978. – Vol. 54, № 4. – P. 97–100.
Энгелькинг Р. Общая топология / пер. с англ. М. Я. Антоновского, А. В. Архангельского. – Москва : Мир, 1986.
Topics in general topology / ed. by Kiiti Morita, Jun-iti Nagata. – Amsterdam [et al.] : North-Holland Pubishing Company, 1989.

[1] Tychonoff A. Über die topologische Erweiterung von Räumen / A. Tychonoff // Mathematische Annalen. – 1930. – Bd. 102. – S. 544–561.

[2] Тихонов А. Н. Собрание научных трудов = Collection of scientific works. В 10 т.. Т. 1 / А. Н. Тихонов. – Москва : Наука, 2009. – (Классики науки).

[3] Urysohn P. Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen / P. Urysohn // Mathematische Annalen. – 1925. – Bd. 94. – S. 262–295.

[4] Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. Т. 1 / П. С. Урысон. – Москва ; Ленинград : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951.

[5] Tukey J. W. Convergence and Uniformity in Topology / John W. Tukey. – Princeton : Princeton University Press, 1940. – (Annals of Mathematics Studies ; 2).

[6] Morita K. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces / Kiiti Morita // Fundamenta Mathematicae. – 1975. – Vol. 87, № 1. – P. 31–52.

[7] Topics in general topology / ed. by Kiiti Morita, Jun-iti Nagata. – Amsterdam [et al.] : North-Holland Pubishing Company, 1989. – (North-Holland mathematical library ; vol. 41).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Тихоновское пространство

Основные свойства

Тихоновский функтор

Исторические и библиографические сведения

Примечания

Литература