Хаусдорфово пространство

Хаусдо́рфово прострáнство, топологическое пространство, каждые две различные точки которого отделимы непересекающимися окрестностями. Более подробно: топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется хаусдорфовым, если оно удовлетворяет следующей аксиоме Хаусдорфа: для каждой пары различных точек ${\displaystyle x,y\in X}$ существуют открытые множества ${\displaystyle U,V}$ –такие, что ${\displaystyle x\in U}$, ${\displaystyle y\in V}$ и ${\displaystyle U\cap V=\varnothing }$. Аксиома Хаусдорфа также называется аксиомой отделимости ${\displaystyle T_{2}}$, а хаусдорфовы пространства именуются ${\displaystyle T_{2}}$-пространствами.

Для любого топологического пространства ${\displaystyle X}$ следующие условия эквивалентны:

• пространство ${\displaystyle X}$ хаусдорфово;
• любое одноточечное подмножество ${\displaystyle \left\{x\right\}}$ пространства ${\displaystyle X}$ является пересечением замыканий своих окрестностей, т. е. ${\displaystyle \{x\}=\bigcap \{{\overline {U}}:U}$ открыто в ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle x\in U\}}$;;
• каждый фильтр ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ в пространстве ${\displaystyle X}$ имеет не более одного предела;
• диагональ ${\displaystyle \Delta _{X}=\{(x,x):x\in X\}}$ является замкнутым подмножеством топологического произведения ${\displaystyle X\times X}$.

Подпространство хаусдорфова пространства является хаусдорфовым; топологическое произведение хаусдорфовых пространств – хаусдорфово пространство.

Простейший пример нехаусдорфова ${\displaystyle T_{1}}$-пространства (т. е. топологического пространства, все одноточечные подмножества которого замкнуты) представляет собой произвольное бесконечное множество ${\displaystyle X}$ с топологией, определённой следующим образом: множество ${\displaystyle U\subset X}$ открыто в том и только том случае, если оно либо пусто, либо его дополнение ${\displaystyle X\setminus U}$ конечно. В этом пространстве любые два непустых открытых множества пересекаются; оно также является компактным.

Если ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ – непрерывное отображение произвольного топологического пространства ${\displaystyle X}$ в хаусдорфово пространство ${\displaystyle Y}$, то его график (т. е. множество ${\displaystyle \left\{\left(x,f(x)\right):x\in X\right\}}$) замкнут в ${\displaystyle X\times Y}$. Для произвольных непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon X\to Y}$ в хаусдорфово пространство ${\displaystyle Y}$ множество точек совпадения этих отображений (т. е. множество ${\displaystyle \left\{x\in X:f(x)=g(x)\right\}}$) замкнуто в ${\displaystyle X}$; это утверждение обобщается также и на произвольное семейство отображений. Отсюда следует фундаментальное утверждение о хаусдорфовых пространствах, иногда называемое «принципом продолжения тождеств»: если два непрерывных отображения топологического пространства ${\displaystyle X}$ в хаусдорфово пространство совпадают на некотором всюду плотном в ${\displaystyle X}$ подмножестве, то они совпадают на всём ${\displaystyle X}$ (иначе говоря, если непрерывное отображение всюду плотного подпространства ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ в хаусдорфово проcтранство ${\displaystyle Y}$ непрерывно продолжается на всё ${\displaystyle X}$, то это продолжение единственно).

Другое важнейшее свойство хаусдорфовых пространств: любое компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Топологические пространства, встречающиеся в классических разделах функционального анализа, дифференциальной геометрии и топологии, как правило, хаусдорфовы.

Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется слабо хаусдорфовым, если для любого непрерывного отображения ${\displaystyle f\colon K\to X}$ хаусдорфова компакта ${\displaystyle K}$ в пространство ${\displaystyle X}$ образ ${\displaystyle f(K)}$ – замкнутое множество. Слабо хаусдорфово пространство является ${\displaystyle T_{1}}$-пространством; всякое хаусдорфово пространство слабо хаусдорфово, но обратное неверно; слабо хаусдорфовы пространства находят важное применение в алгебраической топологии, являясь во многих случаях более удобным классом пространств, чем хаусдорфовы.

Хаусдорфовы пространства названы в честь Ф. Хаусдорфа, который включал аксиому отделимости ${\displaystyle T_{2}}$ в своё определение топологических пространств (Hausdorff. 1914^[1]). Понятие слабой хаусдорфовости введено М. К. Маккордом (McCord. 1969^[2]).