Регулярное пространство

Регуля́рное простра́нство, топологическое пространство, в котором для каждой точки ${\displaystyle x}$ и каждого не содержащего её замкнутого множества ${\displaystyle A}$ найдутся непересекающиеся открытые множества ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ такие, что ${\displaystyle x\in U}$ и ${\displaystyle {\text{А}}\subset V}$. Регулярными являются все вполне регулярные пространства и, в частности, все метрические пространства.

Если в регулярном пространстве все одноточечные подмножества замкнуты (а это выполняется не всегда!), то оно называется ${\displaystyle T_{3}}$-пространством. Не всякое регулярное пространство вполне регулярно: существует бесконечное ${\displaystyle T_{3}}$-пространство, на котором каждая непрерывная действительная функция постоянна. Тем более не каждое регулярное пространство является нормальным пространством. Однако если пространство регулярно и из каждого его открытого покрытия можно выделить счётное подпокрытие, то оно нормально. Пространство со счётной базой метризуемо в том и только в том случае, если оно является ${\displaystyle T_{3}}$-пространством. Регулярность наследуется любыми пространствами и мультипликативна.