Дивизор

Диви́зор, обобщение понятия делителя элемента коммутативного кольца. Впервые (под названием «идеальный делитель») это понятие возникло в работах Э. Куммера (Kummer. 1847) об арифметике круговых полей.

Теория дивизоров для коммутативного кольца ${\displaystyle A}$ с единицей без делителей нуля состоит в построении гомоморфизма ${\displaystyle \varphi }$ из мультипликативной полугруппы ${\displaystyle A^{*}}$ ненулевых элементов ${\displaystyle A}$ в некоторую полугруппу ${\displaystyle D_{0}}$ с однозначным разложением на множители, элементы которой называются (целыми) дивизорами кольца ${\displaystyle {\text{А}}}$. Теория дивизоров позволяет свести ряд вопросов, связанных с разложением на простые множители в кольце ${\displaystyle A}$, где это разложение может быть неоднозначно, к рассмотрению разложения на простые множители в ${\displaystyle D_{0}}$. Образ ${\displaystyle \varphi (a)\in D_{0}}$ элемента ${\displaystyle a\in A^{*}}$ обозначается ${\displaystyle (a)}$ и называется главным дивизором элемента ${\displaystyle a}$. Говорят, что ${\displaystyle a\in A^{*}}$ делится на дивизор ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in D_{0}}$, если ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ делит ${\displaystyle (a)}$ в ${\displaystyle D_{0}}$.

Точнее, пусть ${\displaystyle D_{0}}$ – свободная абелева полугруппа с единицей, свободные образующие которой называют простыми дивизорами, и пусть задан гомоморфизм ${\displaystyle \varphi :A^{*}\to D_{0}}$. Гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ определяет теорию дивизоров кольца ${\displaystyle A}$, если он удовлетворяет следующим условиям.

1) Для ${\displaystyle a,b\in A^{*}}$ элемент ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$ в кольце ${\displaystyle A}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (a)}$ делит ${\displaystyle (b)}$ в ${\displaystyle D_{0}}$.

2) Для любого ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in D_{0}}$

${\displaystyle \left\{0,\,a\in A\mid {\mathfrak {a}}{\text{ делит }}(a)\right\}}$

является идеалом кольца ${\displaystyle A}$.

3) Если ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}'\in D_{0}}$ и для любого ${\displaystyle a\in A^{*}}$ ${\displaystyle (a)}$ делится на ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (a)}$ делится на ${\displaystyle {\mathfrak {a}}'}$, то ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}'}$.

Этими условиями гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$, если он существует, определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Ядро ${\displaystyle {\rm {ker}}\,\varphi }$ совпадает с группой единиц кольца ${\displaystyle A}$. Элементы из ${\displaystyle D_{0}}$ называются положительными дивизорами кольца ${\displaystyle A}$. Пусть ${\displaystyle K}$ – поле частных кольца ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D\supset D_{0}}$ – свободная абелева группа, порождённая множеством простых дивизоров. Тогда для любого ${\displaystyle c\in K^{*}}$, ${\displaystyle K^{*}=K\setminus 0}$, можно определить главный дивизор ${\displaystyle (c)\in D}$. Если ${\displaystyle c=a/b}$, где ${\displaystyle a,b\in A^{*}}$, то ${\displaystyle (c)=(a)/(b)}$. Элементы группы ${\displaystyle D}$ называют дробными дивизорами (или просто дивизорами) кольца ${\displaystyle A}$ (или поля ${\displaystyle K}$). Каждый дивизор ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in D}$ может быть записан в виде

${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{n_{1}}\dots {\mathfrak {p}}_{r}^{n_{r}}}$,

где ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ – простые дивизоры. Либо (в аддитивной записи):

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=n_{1}{\mathfrak {p}}_{1}+\dots +n_{r}{\mathfrak {p}}_{r}}$.

Если ${\displaystyle a\in K^{*}}$ и ${\displaystyle (a)=\sum n_{i}{\mathfrak {p}}_{i}}$, то отображение ${\displaystyle a\to \sum n_{i}}$ является дискретным нормированием на поле ${\displaystyle K}$, называемым существенным нормированием поля ${\displaystyle K}$. Гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ продолжается до гомоморфизма ${\displaystyle \psi :K^{*}\to D}$, где ${\displaystyle \psi (c)=(c)}$, содержащегося в точной последовательности

${\displaystyle 1\to U(A)\to K^{*}{\overset {\psi }{\to }}D\to C(A)\to 1}$.

Здесь ${\displaystyle U(A)}$ – группа единиц кольца ${\displaystyle A}$, а группа ${\displaystyle C(A)}$ называется группой классов дивизоров кольца ${\displaystyle A}$ (или поля ${\displaystyle K}$). Два дивизора, принадлежащие одному смежному классу по подгруппе главных дивизоров, называются эквивалентными (в алгебраической геометрии, где рассматривается целый ряд других эквивалентностей для дивизоров, эта эквивалентность называется линейной).

Теория дивизоров существует для всякого дедекиндова кольца, в частности для колец целых элементов в полях алгебраических чисел, причём в этом случае элементы ${\displaystyle D_{0}}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с ненулевыми идеалами кольца ${\displaystyle A}$ (дивизору ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ при этом соответствует идеал всех элементов ${\displaystyle A}$, делящихся на ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$). По этой причине в дедекиндовых кольцах группу дивизоров называют также группой идеалов, а группу классов дивизоров – группой классов идеалов.

Группа классов дивизоров поля алгебраических чисел конечна, и с вычислением её порядка (числа классов) и структуры связаны многие задачи алгебраической теории чисел (Боревич. 1972^[1]).

Более общо, теория дивизоров существует для колец Крулля (Бурбаки. 1971^[2]). В этом случае роль ${\displaystyle D_{0}}$ играет полугруппа дивизориальных идеалов кольца, а роль ${\displaystyle D}$ играет группа дробных дивизориальных идеалов.

Обобщением понятия дробного дивизориального идеала коммутативного кольца на случай алгебраического многообразия или аналитического пространства служит понятие дивизора Вейля. Так называется целочисленная формальная конечная линейная комбинация ${\displaystyle \sum n_{W}W}$ неприводимых замкнутых подпространств ${\displaystyle W}$ в ${\displaystyle X}$ коразмерности ${\displaystyle 1}$. Дивизор Вейля называется положительным, или эффективным, если все ${\displaystyle n_{W}\geq 0}$. Все дивизоры Вейля образуют группу ${\displaystyle Z^{1}(X)}$ (группа дивизоров Вейля). В случае когда ${\displaystyle X}$ – гладкое алгебраическое многообразие, понятие дивизора Вейля совпадает с понятием алгебраического цикла коразмерности ${\displaystyle 1}$.

Если ${\displaystyle A}$ – нётерово кольцо Крулля, то каждый простой дивизориальный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ в ${\displaystyle A}$ определяет подпространство ${\displaystyle V({\mathfrak {p}})}$ коразмерности ${\displaystyle 1}$ в схеме ${\displaystyle X={\rm {Spec}}(A)}$, а каждый дивизор ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{n_{1}},\dots ,{\mathfrak {p}}_{k}^{n_{k}}}$ может быть отождествлён тем самым с дивизором Вейля ${\displaystyle \sum n_{i}V({\mathfrak {p}})}$.

Пусть ${\displaystyle X}$ – нормальная схема, а ${\displaystyle f}$ – мероморфная функция на ${\displaystyle X}$. Каноническим образом определяется главный дивизор Вейля:

${\displaystyle (f)=\sum n_{W}W}$.

Здесь ${\displaystyle n_{W}}$ есть значение дискретного нормирования кольца ${\displaystyle O_{X,W}}$ общей точки подмногообразия ${\displaystyle W}$ на представителе ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle O_{X,W}}$. Если

${\displaystyle (f)=\sum n_{W}^{+}W+\sum n_{W}^{-}W}$,

где ${\displaystyle n_{W}^{+}>0}$, а ${\displaystyle n_{W}^{-}<0}$, то дивизор Вейля ${\displaystyle (f)_{0}=\sum n_{W}^{+}W}$ называется дивизором нулей, а ${\displaystyle \sum n_{W}^{-}W}$ – дивизором полюсов функции ${\displaystyle f}$. Множество главных дивизоров Вейля является подгруппой ${\displaystyle Z_{p}^{1}(X)}$ группы ${\displaystyle Z^{1}(X)}$. Факторгруппа ${\displaystyle Z^{1}(X)/Z_{p}^{1}(X)}$ обозначается ${\displaystyle C(X)}$ и называется группой классов дивизоров схемы ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle X={\rm {Spec}}\,A}$, где ${\displaystyle A}$ – нётерово кольцо Крулля, то ${\displaystyle C(X)}$ совпадает с группой классов дивизоров кольца ${\displaystyle A}$.

Пусть ${\displaystyle K}$ – поле алгебраических функций. Дивизорами поля ${\displaystyle K}$ называют иногда формальные конечные целочисленные комбинации дискретных нормирований ранга ${\displaystyle 1}$ поля ${\displaystyle K}$. Если ${\displaystyle K}$ есть поле алгебраических функций от одной переменной, то каждый такой дивизор может быть отождествлён с дивизором Вейля его полной неособой модели.

Пусть ${\displaystyle X}$ – регулярная схема или комплексное многообразие и ${\displaystyle D=\sum n_{W}W}$ – дивизор Вейля. Для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ существует такая открытая окрестность ${\displaystyle U}$, что ограничение ${\displaystyle D}$ на ${\displaystyle U}$

${\displaystyle D\mid _{U}=\sum n_{W}(W\cap U)}$

является главным дивизором ${\displaystyle (f_{U})}$ для некоторой мероморфной функции ${\displaystyle f_{U}}$ на ${\displaystyle U}$. Функция определена однозначно с точностью до обратимой функции на ${\displaystyle U}$ и называется локальным уравнением дивизора ${\displaystyle D}$ в окрестности ${\displaystyle U}$, а соответствие ${\displaystyle U\to f_{U}}$ определяет сечение пучка ${\displaystyle M_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}}$. Вообще, дивизором Картье на окольцованном пространстве ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ называется глобальное сечение пучка ${\displaystyle M_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}}$ (пучка ростков дивизоров). Здесь ${\displaystyle M_{X}}$ обозначает пучок ростков мероморфных (или рациональных) функций на ${\displaystyle X}$, т. е. пучок, сопоставляющий каждому открытому ${\displaystyle U\subset X}$ полное кольцо частных кольца ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$, а ${\displaystyle M_{X}^{*}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$ – пучки обратимых элементов в ${\displaystyle M_{X}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ соответственно. Дивизор Картье можно задавать набором локальных уравнений

${\displaystyle f_{i}\in \Gamma {\big (}U_{i},M_{X}^{*}{\big )}}$,

где ${\displaystyle \left\{U_{i}\right\}}$ – открытое покрытие ${\displaystyle X}$, причём на ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ функция ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ должна быть сечением пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$. В частности, мероморфная функция ${\displaystyle f}$ определяет дивизор ${\displaystyle {\rm {div}}\,(f)}$, называемый главным. Множество ${\displaystyle x\in M}$ таких, что ${\displaystyle (f_{i})_{x}\notin {\mathcal {O}}_{X,x}^{*}}$, называется носителем дивизора. Дивизоры Картье образуют абелеву группу ${\displaystyle {\rm {Div}}\,(X)}$, а главные дивизоры – её подгруппу ${\displaystyle {\rm {Div}}_{l}(X)}$. Каждый дивизор ${\displaystyle D\in {\rm {Div}}\,(X)}$ определяет обратимый пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$, содержащийся в ${\displaystyle M_{X}}$: если ${\displaystyle D}$ представлен локальными уравнениями ${\displaystyle f_{i}}$ на покрытии ${\displaystyle \left\{U_{i}\right\}}$, то

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\mid _{U_{i}}=f_{i}^{-1}{\mathcal {O}}\mid _{U_{i}}\subset M_{X}\mid _{U_{i}}}$.

Сопоставление ${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ является гомоморфизмом группы ${\displaystyle {\rm {Div}}\,(X)}$ в группу Пикара ${\displaystyle {\rm {Pic}}\,(X)=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$. Этот гомоморфизм включается в точную последовательность

${\displaystyle \Gamma (X,M_{X}^{*})\to {\rm {Div}}\,(X){\overset {\delta }{\to }}{\rm {Pic}}\,(X)\to H^{1}(X,M_{X}^{*})}$,

получающуюся из точной последовательности пучков

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to M_{X}^{*}\to M_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0}$.

Таким образом, ${\displaystyle {\rm {ker}}\,\delta ={\rm {Div}}_{l}(X)}$. Если ${\displaystyle D-D'}$ есть главный дивизор, то ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle D'}$ называются линейно эквивалентными. Если ${\displaystyle X}$ – квазипроективное алгебраическое многообразие или комплексное пространство Штейна, то гомоморфизм ${\displaystyle \delta :{\rm {Div}}\,(X)\to {\rm {Pic}}\,(X)}$ сюръективен и индуцирует изоморфизм группы классов линейно эквивалентных дивизоров ${\displaystyle {\rm {Div}}\,(X)/{\rm {Div}}_{l}(X)}$ на группу Пикара ${\displaystyle {\rm {Pic}}\,(X)}$.

Если ${\displaystyle X}$ – комплексное пространство, то вопрос о том, когда данный дивизор является главным, есть вторая проблема Кузена. Например, на комплексном пространстве Штейна ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ группа классов дивизоров тривиальна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$.

Дивизор ${\displaystyle D}$ называется эффективным (или положительным), если ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\subset {\mathcal {O}}_{X}(D)}$. В этом случае ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)}$ является пучком идеалов в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$; носитель дивизора ${\displaystyle D}$ со структурным пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {O}}_{X}(-D)}$ образует подпространство в ${\displaystyle X}$, обозначаемое также ${\displaystyle D}$.

Для нормальной нётеровой схемы или нормального аналитического пространства ${\displaystyle X}$ имеется естественный гомоморфизм

${\displaystyle {\rm {cyc}}:{\rm {Div}}\,(X)\to Z^{1}(X)}$,

переводящий ${\displaystyle D\in {\rm {Div}}\,(X)}$ в ${\displaystyle \sum n_{W}W}$, где ${\displaystyle n_{W}=\nu _{W}(f)}$, ${\displaystyle f}$ – локальное уравнение ${\displaystyle D}$ в окрестности ${\displaystyle W}$, a ${\displaystyle \nu _{W}}$ – соответствующее ${\displaystyle W}$ дискретное нормирование (Вейль. 1961^[3]). Гомоморфизм ${\displaystyle {\rm {cyc}}}$ инъективен и переводит эффективные дивизоры в эффективные; ${\displaystyle {\rm {cyc}}}$ биективен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ локально факториально (например, когда ${\displaystyle X}$ – неособая схема или аналитическое многообразие). В случае когда ${\displaystyle {\rm {cyc}}}$ биективен, дивизоры Вейля и Картье отождествляются.

Пусть ${\displaystyle f:X'\to X}$ – морфизм схем, плоский в коразмерности ${\displaystyle 1}$. Тогда для любого дивизора Картье или Вейля ${\displaystyle D}$ на ${\displaystyle X}$ определён его обратный образ ${\displaystyle f^{*}(D)}$. При этом ${\displaystyle {\rm {cyc}}(f^{*}(D))=f^{*}({\rm {cyc}}(D))}$. Отображение ${\displaystyle D\to f^{*}(D)}$ является гомоморфизмом групп, переводит главные дивизоры в главные и тем самым определяет гомоморфизм групп

${\displaystyle f^{*}:{\rm {Pic}}\,(X)\to {\rm {Pic}}\,(X')}$
${\displaystyle ({\text{соответственно}}\ f^{*}:C(X)\to C(X'))}$.

Если ${\displaystyle X'}$ – открытое множество в ${\displaystyle X}$, дополнение к которому имеет коразмерность ${\displaystyle \geq 2}$ и ${\displaystyle f}$ – вложение ${\displaystyle X'}$ в ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle f^{*}:C(X)\to C(X')}$ – изоморфизм, а ${\displaystyle f:{\rm {Pic}}\,(X)\to {\rm {Pic}}\,(X')}$ является изоморфизмом при условии, что схема ${\displaystyle X}$ локально факториальна.

Пусть ${\displaystyle X}$ – гладкое проективное многообразие над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Каждый дивизор ${\displaystyle D}$ на ${\displaystyle X}$ определяет класс гомологий

${\displaystyle [D]\in H_{2{\rm {dim}}\,X-2}(X,\mathbb {Z} )}$;

двойственный по Пуанкаре к ${\displaystyle [D]}$ класс когомологий совпадает с классом Чжэня ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ обратимого пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$. Так на ${\displaystyle {\rm {Div}}\,(X)}$ возникает гомологическая эквивалентность. Имеется теория пересечения дивизоров (Шафаревич. 1972^[4]), приводящая к понятию численной эквивалентности, тесно связанной с понятием алгебраической эквивалентности дивизоров. Группа

${\displaystyle {\rm {Pic}}^{0}(X)={\rm {Div}}_{a}(X)/{\rm {Div}}_{l}(X)}$,

где ${\displaystyle {\rm {Div}}_{a}(X)}$ обозначает группу дивизоров, алгебраически эквивалентных нулю, естественным образом снабжается структурой абелева многообразия (многообразие Пикара; если ${\displaystyle X}$ – кривая, то оно также называется многообразием Якоби кривой ${\displaystyle X}$). Группа ${\displaystyle {\rm {Div}}\,(X)/{\rm {Div}}_{a}(X)}$, называемая группой Нерона – Севери, имеет конечное число образующих. Последние два факта верны и для алгебраических многообразий над произвольным полем.

Если ${\displaystyle X}$ – одномерное комплексное многообразие (риманова поверхность), то дивизоры на ${\displaystyle X}$ можно понимать как конечные линейные комбинации

${\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}x_{i}}$,

где ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle x_{i}\in X}$. Число ${\displaystyle \sum k_{i}}$ называется степенью дивизора ${\displaystyle D}$. Для компактной римановой поверхности ${\displaystyle X}$ рода ${\displaystyle g}$ группа классов дивизоров степени ${\displaystyle 0}$ есть ${\displaystyle g}$-мерное абелево многообразие и совпадает с многообразием Пикара (или с многообразием Якоби). Если ${\displaystyle f}$ – мероморфная функция на ${\displaystyle X}$, то главный дивизор

${\displaystyle {\rm {div}}(f)=\sum _{i}m_{i}x_{i}-\sum _{j}n_{j}y_{j}}$,

где ${\displaystyle x_{i}}$ – нули, ${\displaystyle y_{j}}$ – полюсы функции ${\displaystyle f}$, а ${\displaystyle m_{i}}$, ${\displaystyle n_{j}}$ – их кратности. Тогда ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}=\sum _{j}n_{j}}$, т. е. главный дивизор имеет степень ${\displaystyle 0}$. Дивизор ${\displaystyle D}$ степени ${\displaystyle 0}$ на ${\displaystyle X}$ является главным тогда и только тогда, когда существует такая сингулярная одномерная цепь ${\displaystyle C}$, что

${\displaystyle \partial C=D\quad {\text{ и }}\quad \int _{C}\omega =0}$

для всех голоморфных форм ${\displaystyle \omega }$ степени ${\displaystyle 1}$ на ${\displaystyle X}$ (теорема Абеля). См. также статью Абелев дифференциал.