Нормальная схема

Норма́льная схе́ма, схема, все локальные кольца которой являются нормальными кольцами (т. е. приведёнными и целозамкнутыми в полном кольце частных). Нормальная схема локально неприводима; для такой схемы понятия связной и неприводимой компоненты совпадают. Множество особых точек нётеровой нормальной схемы имеет коразмерность, бо́льшую 1. Имеется следующий критерий нормальности (Серр. 1963^[1]): нётерова схема ${\displaystyle X}$ нормальна тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) для любой точки ${\displaystyle x\in {X}}$ коразмерности ${\displaystyle \leqslant 1}$ локальное кольцо ${\displaystyle O_{X,x}}$ регулярно; 2) для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ коразмерности ${\displaystyle >1}$ глубина кольца ${\displaystyle O_{X,x}}$ больше 1. Для любой приведённой схемы ${\displaystyle X}$ существует канонически связанная с ней нормальная схема ${\displaystyle X^{H}}$ (нормализация). ${\displaystyle X}$-схема ${\displaystyle X^{H}}$ является целой, хотя и не всегда конечной над ${\displaystyle X}$. Однако если схема ${\displaystyle X}$ превосходная, например если ${\displaystyle X}$ – схема конечного типа над полем, то ${\displaystyle X^{H}}$ является конечной над ${\displaystyle X}$.