Обратимый пучок

Обрати́мый пучо́к, локально свободный пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей ранга ${\displaystyle 1}$ на окольцованном пространстве ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Эквивалентное определение обратимого пучка: пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей, локально изоморфный пучку ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. Обратимые пучки на ${\displaystyle X}$, рассматриваемые с точностью до изоморфизма, образуют абелеву группу относительно операции тензорного умножения над ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. Эта группа называется группой Пикара пространства ${\displaystyle X}$ и обозначается ${\displaystyle \operatorname {Pic} X}$. Обратным к пучку ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ будет в ней пучок ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}={\mathcal {Hom}}\left({\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}$, двойственный к ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. В случае, когда ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ – схема (в частности, алгебраическое многообразие) или аналитическое пространство, пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей обратим тогда и только тогда, когда он изоморфен пучку регулярных (соответственно аналитических) сечений некоторого линейного алгебраического (соответственно аналитического) расслоения над ${\displaystyle X}$.

Обратимые пучки на схемах тесно связаны с дивизорами. Каждому дивизору Картье ${\displaystyle D}$ на ${\displaystyle X}$ сопоставляется обратимый пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$, чем определяется инъективный гомоморфизм ${\displaystyle \mathrm {Cl} X\rightarrow \mathrm {Pic} X}$, где ${\displaystyle \mathrm {Cl} X}$ – группа классов дивизоров Кapтье на ${\displaystyle X}$. Для целых схем ${\displaystyle X}$ этот гомоморфизм является изоморфизмом.

На проективной схеме ${\displaystyle X}$ определяется подкручивающий обратимый пучок Серра ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}(1)}$. А именно, если задано вложение схемы ${\displaystyle X}$ в проективное пространство ${\displaystyle P^{N}}$, то ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ соответствует классу гиперплоского сечения. В частности, если ${\displaystyle X=P^{N}(k)}$ – проективное пространство над полем ${\displaystyle k}$, то пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ есть прямой образ пучка линейных функций на ${\displaystyle k^{N+1}}$ при естественном отображении ${\displaystyle k^{N+1}\setminus \{0\}\rightarrow P{}^{N}(k)}$. Систему однородных координат ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}}$ в ${\displaystyle P^{N}(k)}$ можно отождествить с базисом пространства сечений ${\displaystyle \Gamma (P^{N},{\mathcal {O}}(1))}$.

Обратимые пучки на схеме ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$ связаны с рациональными отображениями схемы в проективные пространства. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ – обратимый пучок на схеме ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{N}}$ – сечения пучка ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, значения которых в любой точке ${\displaystyle x\in X}$ порождают слой ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{x}}$ над ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$. Тогда существует единственный морфизм ${\displaystyle \varphi :X\rightarrow P^{N}(k)}$ такой, что ${\displaystyle \varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)\cong {\mathcal {L}}}$ и ${\displaystyle \varphi ^{*}x_{i}=s_{i}}$, где ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}}$ – однородные координаты в ${\displaystyle P^{N}(1)}$. Обратимый пучок ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ на ${\displaystyle X}$ называется очень обильным, если существует такое вложение ${\displaystyle \varphi :X\rightarrow P^{N}(k)}$, что ${\displaystyle \varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)\cong {\mathcal {L}}}$. Обратимый пучок ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ на ${\displaystyle X}$ называется обильным, если существует такое целое положительное ${\displaystyle n}$, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{n}}$ очень обилен. На нётеровой схеме ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle k}$ обратимый пучок ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ обилен тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ существует такое целое ${\displaystyle n_{0}>0}$, что пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{n}}$ порождается при ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ своими глобальными сечениями.

Если ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ – обильный обратимый пучок на ${\displaystyle X}$, соответствующий дивизору ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle D}$ называется обильным дивизором. Дивизор Картье ${\displaystyle D}$ на схеме ${\displaystyle X}$, собственной над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle k}$, обилен тогда и только тогда, когда для каждой замкнутой целой подсхемы ${\displaystyle Y\subseteq X}$ индекс пересечения ${\displaystyle D^{r}\cdot Y}$ положителен, где ${\displaystyle r=\operatorname {dim} Y}$. (По поводу других критериев обильности см. Долгачёв. 1972^[1].) Существует также обобщение понятия обильного дивизора на подмногообразия большей коразмерности (Hartshorne. 1977).

Понятия очень обильного и обильного обратимого пучка переносятся также на случай аналитических пространств (по поводу критериев обильности в этой ситуации см. Положительнoe расслоение).