Факторгруппа

Факторгру́ппа группы ${\displaystyle G}$ по нормальному делителю ${\displaystyle N}$, группа, образуемая смежными классами ${\displaystyle Ng}$, ${\displaystyle g\in G}$, группы ${\displaystyle G}$ и обозначаемая ${\displaystyle G/N}$ (см. в статье Нормальный делитель). Умножение смежных классов производится по формуле

${\displaystyle Ng_{1}\cdot Ng_{2}=Ng_{1}g_{2}}$.

Единицей факторгруппы является класс ${\displaystyle N=N\cdot 1}$, обратным к классу ${\displaystyle Ng}$ – класс ${\displaystyle Ng^{-1}}$.

Отображение ${\displaystyle {\ce {\varkappa \colon g->Ng}}}$ будет эпиморфизмом группы ${\displaystyle G}$ на факторгруппу ${\displaystyle G/N}$, называемую каноническим эпиморфизмом ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle G/N}$. Если ${\displaystyle {\ce {\varphi \colon G->G^{\prime }}}}$ – произвольный эпиморфизм группы ${\displaystyle G}$ на группу ${\displaystyle G^{\prime }}$, то ядро ${\displaystyle K}$ эпиморфизма ${\displaystyle \varphi }$ – нормальный делитель группы ${\displaystyle G}$, a факторгруппа ${\displaystyle G/K}$ изоморфна группе ${\displaystyle G^{\prime }}$, точнее, существует изоморфизм ${\displaystyle \psi }$ группы ${\displaystyle G/K}$ на группу ${\displaystyle G^{\prime }}$ такой, что диаграмма

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}G&\mathop {\longrightarrow } \limits ^{\varphi }&G^{\prime }\\{}_{\varkappa }\searrow &{}&\nearrow {}_{\psi }\\{}&G/K&{}\\\end{array}}}$

коммутативна, где ${\displaystyle \varkappa }$ – канонический эпиморфизм ${\displaystyle {{\ce {G -> G / K}}}}$.

Факторгруппу группы ${\displaystyle G}$ можно определять, исходя из некоторой конгруэнции на ${\displaystyle G}$, как множество классов конгруэнтных элементов относительно умножения классов. Всевозможные конгруэнции на группе находятся во взаимно однозначном соответствии с нормальными делителями группы, а факторгруппы по конгруэнциям совпадают с факторгруппами по нормальным делителям. Факторгруппа является нормальным факторобъектом в категории групп.