Плоский морфизм

Пло́ский морфи́зм, морфизм схем ${\displaystyle f:X\to Y}$ такой, что для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ локальное кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ является плоским над ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$. Вообще, пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей, он называется плоским над ${\displaystyle Y}$ в точке ${\displaystyle x\in X}$, если ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ – плоский модуль над кольцом ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$. При некоторых (довольно слабых) условиях конечности множество точек, в которых когерентный ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модуль ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ является плоским, открыто в ${\displaystyle X}$. Если при этом схема ${\displaystyle Y}$ целостна, то существует открытое непустое подмножество ${\displaystyle U\subset Y}$ такое, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – плоский морфизм над ${\displaystyle Y}$ во всех точках, лежащих над ${\displaystyle U}$.

Плоские морфизмы конечного типа соответствуют интуитивному понятию непрерывного семейства многообразий. Плоский морфизм открыт и равноразмерен (т. е. размерность слоёв ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ локально постоянна по ${\displaystyle y\in Y}$). Для многих геометрических свойств множество точек ${\displaystyle x\in X}$, в которых слой ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ плоского морфизма ${\displaystyle f:X\to Y}$ обладает этим свойством, открыто в ${\displaystyle X}$. Если плоский морфизм ${\displaystyle f}$ собственный, то открытым является и множество точек ${\displaystyle y\in Y}$, слои над которыми обладают этим свойством (см. Grothendieck. 1964^[1]; 1966^[2]).

Плоские морфизмы применяются также в теории спуска. Морфизм схем называется строго плоским, если он плоский и сюръективный. Тогда, как правило, для проверки какого-либо свойства некоторого объекта над ${\displaystyle Y}$ достаточно проверить это свойство для объекта, полученного после строго плоской замены базы ${\displaystyle f:X\to Y}$ (см. Grothendieck. 1964, 1966). В связи с этим представляют интерес критерии плоскостности морфизма ${\displaystyle f:X\to Y}$ (или ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модуля ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$); при этом ${\displaystyle Y}$ можно считать локальной схемой. Простейший критерий относится к случаю, когда база ${\displaystyle Y}$ одномерна и регулярна: когерентный ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модуль ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ будет плоским тогда и только тогда, когда униформизирующая на ${\displaystyle Y}$ имеет тривиальный аннулятор в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Общий случай в некотором смысле сводится к одномерному. Пусть ${\displaystyle Y}$ – приведённая нётерова схема и для любого морфизма ${\displaystyle Z\to Y}$, где ${\displaystyle Z}$ – одномерная регулярная схема, замена базы ${\displaystyle f_{Z}:X_{Y}\times Z\to Z}$ является плоским морфизмом; тогда ${\displaystyle f}$ есть плоский морфизм. Другой критерий плоскостности требует, чтобы ${\displaystyle f:X\to Y}$ был универсально открыт, а ${\displaystyle Y}$ и геометрические слои ${\displaystyle f^{-1}({\bar {y}})}$ – приведены.