Группа классов дивизоров

Гру́ппа кла́ссов диви́зоров, группы дивизориальных идеалов ${\displaystyle D(A)}$ кольца Крулля ${\displaystyle A}$ по подгруппе главных идеалов ${\displaystyle F(A)}$. Группа классов дивизоров является абелевой группой и обычно обозначается ${\displaystyle C(A)}$. Группа ${\displaystyle C(A)}$ порождается классами простых идеалов высоты ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle A}$.

В некотором смысле группа классов дивизоров измеряет отклонение от однозначности разложения элементов кольца ${\displaystyle A}$ на неразложимые множители. Так, факториальное кольцо имеет нулевую группу классов дивизоров.

Пусть ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$ – гомоморфизм колец Крулля, тогда при некоторых дополнительных предположениях (например, в случае когда ${\displaystyle B}$ – целое или плоское расширение кольца ${\displaystyle A}$) определён канонический гомоморфизм группы классов дивизоров ${\displaystyle \varphi ^{*}:C(A)\rightarrow C(B)}$. Если ${\displaystyle B}$ – локализация кольца ${\displaystyle A}$ по мультипликативной системе ${\displaystyle S}$, то ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ сюръективно и ядро ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ порождается простыми дивизориальными идеалами кольца ${\displaystyle A}$, пересекающимися с ${\displaystyle S}$ (теорема Нагата). Если ${\displaystyle B}$ – кольцо многочленов над ${\displaystyle A}$, то канонический гомоморфизм ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ биективен (это является обобщением теоремы Гаусса о факториальности кольца многочленов над полем). В более общем случае, когда ${\displaystyle B}$ – симметрическая нётерова алгебра ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle M}$, канонический гомоморфизм ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ будет биективен при условии, что все симметрические степени ${\displaystyle S^{i}(M)}$ рефлексивны. Если ${\displaystyle B}$ – кольцо формальных степенных рядов над ${\displaystyle A}$, то гомоморфизм ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ инъективен (и даже обратим слева), но, вообще говоря, не биективен.

Подгруппа группы ${\displaystyle C(A)}$, порождённая обратимыми идеалами, изоморфна группе Пикара ${\displaystyle \operatorname {Pic} (A)}$ кольца ${\displaystyle A}$, и функториальные свойства ${\displaystyle \operatorname {Pic} (A)}$ и ${\displaystyle C(A)}$ согласованы. Так, если ${\displaystyle B}$ – строго плоское расширение кольца ${\displaystyle A}$ и гомоморфизм ${\displaystyle \varphi ^{*}:\operatorname {Pic} A\rightarrow \operatorname {Pic} B}$ инъективен, то инъективен и ${\displaystyle \varphi ^{*}:C(A)\rightarrow C(B)}$. В частности, если пополнение ${\displaystyle {\hat {A}}}$ локального кольца ${\displaystyle A}$ факториально, то факториально и ${\displaystyle A}$ (теорема Мори).

Пусть ${\displaystyle A}$ – нормальное нётерово кольцо. Группа ${\displaystyle \operatorname {Pic} (A)}$ совпадает с ${\displaystyle C(A)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ – локально факториальное кольцо, т. е. все локальные кольца ${\displaystyle A_{m}}$ факториальны (например, когда ${\displaystyle A}$ – регулярное кольцо). Более точно, если ${\displaystyle F=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (A),A_{\mathfrak {p}}}$ – факториально${\displaystyle \}}$, ${\displaystyle C(A)={\underset {\lim }{\longrightarrow }}\operatorname {Pic} (U)}$, где ${\displaystyle U}$ пробегают систему открытых подсхем ${\displaystyle \rightarrow \operatorname {Spec} (A)}$, содержащих ${\displaystyle F}$. Это позволяет определить группу классов дивизоров нормальной схемы (Grothedieck, Dieudonne) – группу классов дивизоров Вейля (см. в статье Дивизор).

Первоначально изучались группы классов дивизоров колец алгебраических чисел, первые результаты о конечности этой группы были получены ещё Э. Куммером. Имеется тесная связь свойств группы классов дивизоров с теоретико-числовыми вопросами, например с теоремой Ферма (таблицы порядков групп классов дивизоров некоторых колец алгебраических чисел приведены в: Боревич. 1985^[1]).

Современную общность теория групп классов дивизоров получила в работах В. Крулля; П. Самюэль изучил функториальный характер групп классов дивизоров и предложил несколько методов её вычисления (как, например, метод спуска). Другие подходы к изучению групп классов дивизоров основаны на сравнении её с группой Пикара, при этом применяются когомологические и алгебро-геометрические средства.

Для любой абелевой группы существует изоморфная ей группа классов дивизоров.