Целое расширение кольца

Це́лое расшире́ние кольца́, расширение ${\displaystyle B}$ коммутативного кольца ${\displaystyle A}$ с единицей такое, что любой элемент ${\displaystyle x\in B}$ является целым над ${\displaystyle A}$, т. е. удовлетворяет некоторому уравнению вида

${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0}$,

где ${\displaystyle a_{i}\in A}$, называемому уравнением целой зависимости.

Элемент ${\displaystyle x}$ цел над ${\displaystyle A}$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух эквивалентных условий: 1) ${\displaystyle A[x]}$ является ${\displaystyle A}$-модулем конечного типа; 2) существует точный ${\displaystyle A[x]}$-модуль, являющийся ${\displaystyle A}$-модулем конечного типа. Целый элемент алгебраичен над ${\displaystyle A}$. Если ${\displaystyle A}$ – поле, то верно и обратное утверждение. Элементы поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, целые над кольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, называются целыми алгебраическими числами. Если кольцо ${\displaystyle B}$ есть модуль конечного типа над ${\displaystyle A}$, то любой элемент ${\displaystyle x\in B}$ цел над ${\displaystyle A}$ (обратное может не быть верным).

Пусть кольцо ${\displaystyle R\supset A}$ коммутативно, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ – элементы ${\displaystyle R}$, целые над ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle x+y}$ и ${\displaystyle xy}$ также целы над ${\displaystyle A}$, и множество всех элементов из ${\displaystyle R}$, целых над ${\displaystyle A}$, образует подкольцо, называется целым замыканием ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle R}$.

Все рассматриваемые далее кольца предполагаются коммутативными.

Если ${\displaystyle B}$ является целым над ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A^{\prime }}$ – некоторая ${\displaystyle A}$-алгебра, то ${\displaystyle B\otimes A^{\prime }}$ цело над ${\displaystyle A^{\prime }}$. Если ${\displaystyle B}$ – целое расширение кольца ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle S}$ – некоторое мультипликативное подмножество в ${\displaystyle A}$, то кольцо ${\displaystyle S^{-1}B}$ является целым над ${\displaystyle S^{-1}A}$. Область целостности ${\displaystyle A}$ называется целозамкнутой, если целое замыкание ${\displaystyle A}$ в своём поле частных совпадает с ${\displaystyle A}$. Факториальное кольцо целозамкнуто. Кольцо ${\displaystyle A}$ целозамкнуто тогда и только тогда, когда для любого максимального идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset A}$ целозамкнуто локальное кольцо ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$.

Пусть ${\displaystyle B}$ – целое расширение ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ – некоторый простой идеал кольца ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}B\neq B}$ и существует простой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ кольца ${\displaystyle B}$, лежащий над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ (т. е. такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {B}}\cap A}$). Идеал ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ максимален тогда и только тогда, когда максимален ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Если ${\displaystyle L}$ – конечное расширение поля частных кольца ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – целое замыкание ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle L}$, то существует лишь конечное число простых идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ кольца ${\displaystyle B}$, лежащих над заданным простым идеалом кольца ${\displaystyle A}$.

Пусть ${\displaystyle C\supset B\supset A}$; расширение ${\displaystyle C\supseteq A}$ – целое расширение тогда и только тогда, когда целыми являются оба расширения ${\displaystyle C\supseteq B}$ и ${\displaystyle B\supset A}$.