Симметрическая алгебра

Симметри́ческая а́лгебра, обобщение алгебры многочленов. Если ${\displaystyle M}$ – унитарный модуль над коммутативно-ассоциативным кольцом ${\displaystyle A}$ с единицей, то симметрической алгеброй модуля ${\displaystyle M}$ называется алгебра ${\displaystyle S(M)=T(M)/I}$, где ${\displaystyle T(M)}$ – тензорная алгебра модуля ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle I}$ – её идеал, порождённый элементами вида ${\displaystyle x\otimes y-y\otimes x}$ ${\displaystyle (x,y\in M)}$. Симметрическая алгебра – коммутативно-ассоциативная ${\displaystyle A}$-алгебра с единицей; она градуирована:

${\displaystyle S(M)=\sum _{p\geqslant 0}S^{p}(M)}$,

где ${\displaystyle S^{p}(M)=T^{p}(M)/I\cap T^{p}(M)}$, причём ${\displaystyle S^{0}(M)=A}$, ${\displaystyle S^{1}(M)=M}$. Модуль ${\displaystyle S^{p}(M)}$ называется ${\displaystyle p}$-й симметрической степенью модуля ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle M}$ – свободный модуль с конечным базисом ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, то соответствие ${\displaystyle {{\ce {x_i -> X_i}}}}$ ${\displaystyle (i=1,\ldots ,n)}$ продолжается до изоморфизма алгебры ${\displaystyle S(M)}$ на алгебру многочленов ${\displaystyle A\left[X_{1},\ldots X_{n}\right]}$ (cм. Кольцо многочленов).

Для любого гомоморфизма ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle {{\ce {f: M -> N}}}}$ ${\displaystyle p}$-я тензорная степень ${\displaystyle {{\ce {T^p(f): T^p(M) -> T^p(N)}}}}$ индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle {{\ce {S^p(f): S^p(M) -> S^p(N)}}}}$ (${\displaystyle p}$-я симметрическая степень гомоморфизма ${\displaystyle f}$). Получается гомоморфизм ${\displaystyle A}$-алгебр ${\displaystyle {{\ce {S(f): S(M) -> S(N)}}}}$. Соответствия ${\displaystyle {{\ce {f -> S^p(f)}}}}$ и ${\displaystyle {{\ce {f -> S(f)}}}}$ являются соответственно ковариантными функторами из категории ${\displaystyle A}$-модулей в себя и в категорию ${\displaystyle A}$-алгебр. Для любых двух ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ имеет место естественный изоморфизм ${\displaystyle S(M\bigoplus N)\cong S(M)\otimes S(N)}$.

Если ${\displaystyle M}$ – векторное пространство над полем характеристики 0, то симметрирование ${\displaystyle {{\ce {\sigma: T(M) -> T(M)}}}}$ определяет изоморфизм симметрической алгебры ${\displaystyle S(M)}$ на алгебру ${\displaystyle {\bar {S}}({M})\subset T(M)}$ симметрических контравариантных тензоров на ${\displaystyle M}$ относительно симметрического умножения:

${\displaystyle u\vee v=\sigma (u\otimes v),\quad u\in {\bar {S}}^{p}(M),\quad v\in {\bar {S}}^{q}(M)}$.