Независимость (в теории вероятностей)

Незави́симость (в теории вероятностей), одно из важнейших специфических понятий теории вероятностей. Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – два случайных события, а ${\displaystyle P(A)}$ и ${\displaystyle P(B)}$ – их вероятности. Условную вероятность ${\displaystyle P(A\mid B)}$ события ${\displaystyle A}$ при условии осуществления события ${\displaystyle B}$ (с ${\displaystyle P(B)>0}$) определяют равенством ${\displaystyle P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)}$, где ${\displaystyle P(A\cap B)}$ – вероятность совместного осуществления событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Событие ${\displaystyle A}$ называют независимым от события ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle P(A\mid B)=P(A)}$. Это равенство может быть записано в виде, симметричном относительно ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ и свободном от условия ${\displaystyle P(B)>0}$:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B),}$ (1)

откуда видно, что если событие ${\displaystyle A}$ не зависит от ${\displaystyle B}$, то и ${\displaystyle B}$ не зависит от ${\displaystyle A}$. Статистический смысл определения независимости проясняется при переходе от вероятностей событий к частотам: если производится большое число испытаний, то между частотой появления события ${\displaystyle A}$ во всех испытаниях и частотой его появления в тех испытаниях, в которых происходит событие ${\displaystyle B}$, должно иметь место приближённое равенство. Независимость событий означает либо отсутствие связи между наступлением этих событий, либо несущественный характер этой связи.

При определении независимости нескольких событий различают попарную и взаимную независимость. События ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ называются попарно независимыми, если любые два из них независимы в смысле определения (1). События ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ называются взаимно независимыми, если для любого натурального числа ${\displaystyle k,\;2\leqslant k\leqslant n}$, и всех наборов чисел ${\displaystyle 1\leqslant \;i_{1}<\;\ldots <\;i_{k}\leqslant \;n}$ справедливы равенства

${\displaystyle P(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})\ldots P(A_{i_{k}}).}$ (2)

Условие попарной независимости является частью условия взаимной независимости (при ${\displaystyle k=2}$). Условие ${\displaystyle (2)}$ содержит ${\displaystyle 2^{n}-n-1}$ соотношений, и при больших ${\displaystyle n}$ его проверка затруднительна. Однако в моделях теории вероятностей независимость обычно вводится как допущение.

Понятие независимости переносится и на случайные величины. Случайные величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ называются независимыми, если для любых интервалов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ действительной прямой события, заключающиеся в том, что значение ${\displaystyle X}$ принадлежит интервалу ${\displaystyle A}$, а значение ${\displaystyle Y}$ – интервалу ${\displaystyle B}$, независимы. Аналогично определение независимости для нескольких случайных величин.

На предположении независимости тех или иных событий и случайных величин основаны важнейшие схемы теории вероятностей (см., например, схема Бернулли). Основные фундаментальные результаты теории вероятностей первоначально были доказаны в предположении независимости случайных величин (см. Предельные теоремы теории вероятностей).