Биномиальное распределение

Биномиа́льное распределе́ние, распределение вероятностей числа появлений некоторого события при независимых испытаниях (опытах) в схеме Бернулли. Если при каждом испытании вероятность появления события ${\displaystyle A}$ равна ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle 0\leqslant p\leqslant 1}$, то число ${\displaystyle X}$ появлений этого события (число успехов) при ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения ${\displaystyle m=0,1,\ldots ,n}$ с вероятностями

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{X=m\}=C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m}}$,

где ${\displaystyle q=1-p}$, а ${\displaystyle C_{n}^{m}=n!/(m!(n-m)!)}$ – биномиальные коэффициенты (отсюда название биномиальное распределение). Математическое ожидание ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X)}$ и дисперсия ${\displaystyle {\mathsf {D}}(X)}$ величины ${\displaystyle X}$, имеющей биномиальное распределение, равны ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X)=np}$ и ${\displaystyle {\mathsf {D}}(X)=npq}$ соответственно. При больших ${\displaystyle n}$, в силу теоремы Лапласа, биномиальное распределение близко к нормальному распределению, чем и пользуются на практике. При небольших ${\displaystyle n}$ можно использовать таблицы биномиальных распределений или прямые вычисления.