Бета-функция

Бе́та-фу́нкция (B-функция, В-функция Эйлера, эйлеров интеграл 1-го рода), функция двух переменных ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, определяемая при ${\displaystyle p>0}$, ${\displaystyle q>0}$ равенством

${\displaystyle \mathrm {B} (p,q)=\int _{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx.}$ (*)

Значения бета-функции при различных значениях параметров ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ связаны между собой следующими соотношениями:

${\displaystyle \mathrm {B} (p,q)=\mathrm {B} (q,p),}$
${\displaystyle mathrm{B}(p,q)={\frac {q-1}{p+q-1}}\mathrm {B} (p,q-1),\quad q>1.}$

Справедлива формула

${\displaystyle \mathrm {B} (p,1-p)={\frac {\pi }{\sin p\pi }},\quad 0<p<1}$.

В случае комплексных ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ интеграл (*) сходится, когда ${\displaystyle \operatorname {Re} p>0}$ и ${\displaystyle \operatorname {Re} q>0}$. Бета-функция выражается через гамма-функцию:

${\displaystyle \mathrm {B} (p,q)={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q}}}$.