Распределение арксинуса

Распределе́ние аркси́нуса, вероятностная мера на прямой, плотность которой равна нулю вне интервала ${\displaystyle (0,1)}$ и равна ${\displaystyle {\dfrac {1}{\pi }}\left({\sqrt {x(1-x)}}\right)^{-1}}$ при ${\displaystyle 0<x<1}$. Соответствующая функция распределения равна ${\displaystyle {\dfrac {2}{\pi }}\arcsin {\sqrt {x}}}$ при ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$.

Наряду с распределением арксинуса используется обобщённое распределение арксинуса. Обобщённому распределению арксинуса соответствует функция распределения ${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$, которая имеет плотность${\displaystyle f_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\dfrac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}\ &{\text{при }}0<x<1\\\ 0&{\text{при }}x\leqslant 1,\ \ x\geqslant 1,\end{cases}}}$

при ${\displaystyle 0<\alpha <1}$; плотность ${\displaystyle f_{1/2}(x)}$ совпадает с плотностью распределения арксинуса. Обобщённое распределение арксинуса есть специальный случай бета-распределения. Момент 1-го порядка обобщённого распределения арксинуса равен ${\displaystyle 1-\alpha }$, дисперсия этого же распределения равна ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}(1-\alpha )\alpha }$. Распределение арксинуса и обобщённое распределение арксинуса возникают при изучении флуктуаций случайных блужданий, в теории восстановления (см. Закон арксинуса), а также используются в математической статистике как специальные случаи бета-распределения.